含时微扰理论（绝热）
贡献者： addis
预备知识 一阶不含时微扰理论（量子力学），绝热近似（量子力学）
许多时候我们会把不含时微扰理论和绝热近似理论和一起使用，把前者从对不含时薛定谔方程（TISE）的近似拓展为对含时薛定谔方程（TDSE）的近似。
我们来考虑含时薛定谔方程
\begin{equation}
[H_0 + \lambda(t)H']\Psi(t) = \mathrm{i} \hbar\dot \Psi(t)~.
\end{equation}
若已知 $t=0$ 时 $\lambda(0) = 0$，且已知初始波函数 $\Psi(0)$，然后非常平滑且缓慢地随时间增加含时微扰 $\lambda(t) H'$ 的强度直到 $\lambda(t)=1$。这个过程中 $\Psi(t)$ 会如何随时间变化？是否可以结合以上两种近似理论得到近似解？
绝热近似（adiabatic approximation）告诉我们，如果 $\Psi(0)$ 是一个非简并本征态（或好量子态）$\psi_n$，那么该过程中 $\Psi(t)$ 将始终近似保持 $H+\lambda(t) H'$ 的本征态（好量子态）$\psi_n(\lambda)$ 乘以一个额外的相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \alpha_n(t)}$。其中 $\psi_n(\lambda)$ 是实数函数且满足本征方程
\begin{equation}
(H_0 + \lambda H')\psi_n(\lambda) = E_n(\lambda)\psi_n(\lambda)~.
\end{equation}
虽然这里的哈密顿算符和波函数通过 $\lambda(t)$ 最终都是时间 $t$ 的函数，但在每个时刻 $t$ 这都是一个定态薛定谔方程。既然是定态薛定谔方程，那么自然地就可以让不含时微扰理论派上用场了，以一阶微扰为例，
\begin{equation}
\psi_n(\lambda) \approx \psi_n(0) + \lambda\psi_n^1~.
\end{equation}
\begin{equation}
E_n(\lambda) \approx E_n(0) + \lambda E_n^1~.
\end{equation}
其中 $\psi_n^1$ 和 $E_n^1$ 都不含 $\lambda$ 或 $t$。
所以 TDSE 式 2 的一个近似解是
\begin{equation}
\psi_n(t) \approx [\psi_n(0) + \lambda(t)\psi_n^1] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \alpha_n(t)}~.
\end{equation}
由于含时薛定谔方程是线性的，通解就是其线性组合而已（系数 $c_n$ 不含时）
\begin{equation}
\Psi(t) = \sum_n c_n \psi_n(t)~.
\end{equation}
也就是说，如果初始时波函数处于某个简并空间的非好本征态，那么在含时薛定谔方程中给 $H$ 慢慢加上 $H'$ 后，波函数将被分割到若干个不同能级的简并空间中，测量其能量将可能随机得到对应的多个本征值中之一。但在这个过程中每个好本征态会累积额外的相位。