概率流密度

贡献者： addis

预备知识　薛定谔方程

　　一维情况下，对于某个波函数 $ψ (x, t)$ ，定义概率流为

\begin{matrix} (1) & j (x, t) = \frac{i ℏ}{2 m} (ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial x} - ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x}) = \frac{ℏ}{m} Im [ψ^{*} \frac{\partial}{\partial x} ψ] . \end{matrix}

某个区间中的概率增加率等于流入该区间的概率流

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} P_{a b} (t) = j (a, t) - j (b, t) . \end{matrix}

三维情况下，概率流的定义变为

\begin{matrix} (3) & j (r, t) = \frac{i ℏ}{2 m} (ψ \nabla ψ^{*} - ψ^{*} \nabla ψ) = \frac{ℏ}{m} Im [ψ^{*} \nabla ψ], \end{matrix}

且有

\begin{matrix} (4) & \frac{d}{d t} P_{V} (t) = \frac{d}{d t} \int_{V} {| ψ (r, t) |}^{2} d V = \int_{S} j (r, t) \cdot d s, \end{matrix}

或写为概率守恒公式（类比电荷守恒）

\begin{matrix} (5) & \frac{d}{d t} (ψ^{*} ψ) + \nabla \cdot j = 0 . \end{matrix}

　　求三维平面波 $A \exp (i k \cdot r)$ 的概率流密度。答案： ${| A |}^{2} ℏ k / m$ ，注意这恰好等于概率密度乘以粒子速度（原因见下文）。

　　求球面波 $A \exp (i k r) / r$ 的概率流密度（ $r = | r |$ ）。答案： ${| A |}^{2} ℏ k / (m r^{2})$ ，同样等于概率密度乘以粒子速度，注意单位时间通过任意球面的概率都是一样的。

1. 推导

　　对一维情况有

\begin{matrix} (6) & \frac{d}{d t} P_{a b} = \frac{d}{d t} \int_{a}^{b} ψ^{*} ψ d x = \int_{a}^{b} (ψ \frac{\partial}{\partial t} ψ^{*} + ψ^{*} \frac{\partial}{\partial t} ψ) d x . \end{matrix}

一维薛定谔方程以及复共轭为

\begin{matrix} (7) & i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ, \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & - i ℏ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ^{*}}{\partial x^{2}} + V ψ^{*} . \end{matrix}

代入上式的时间微分，得

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} P_{a b} & = \frac{i ℏ}{2 m} \int_{a}^{b} (ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} - ψ \frac{\partial^{2} ψ^{*}}{\partial x^{2}}) d x = \frac{i ℏ}{2 m} \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial x} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial x}) d x \\ = {\frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial x}) |}_{x = a}^{x = b} = j (a) - j (b), \end{aligned} \end{matrix}

三维情况的证明可类比。

　　类比经典力学或电磁学中的 $j = ρ v$ ，若定义概率流速度为概率流除以概率密度，则平面波 $ψ (x) = A e^{i k \cdot r}$ 的概率流速为

\begin{matrix} (10) & v = j / {| ψ |}^{2} = \frac{i ℏ}{2 m} (- {| A |}^{2} i k - {| A |}^{2} i k) / {| A |}^{2} = \frac{ℏ k}{m} = \frac{p}{m} = v_{C M} . \end{matrix}

所以平面波的概率流速度等于具有相同动量的经典粒子的速度。