贡献者： int256; addis; 拉格朗日橙子
在开普勒问题中，我们定义拉普拉斯—龙格—楞次矢量（Laplace-Runge-Lenz Vector）（缩写为 LRL 矢量）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为质点动量，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 为轨道角动量，$ \boldsymbol\times $ 表示
矢量叉乘，$k$ 是一个常数（对
万有引力 $k = GMm$，对
库仑力 $k = -Qq/(4\pi\epsilon_0)$。$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为质点位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的单位矢量。在开普勒问题中，可以证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个守恒量。
1. 守恒证明
求导法
我们下面证明 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。对式 1 求时间导数，考虑到中心力场中质点角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒，有
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk\dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }~.
\end{equation}
其中由
牛顿第二定律和万有引力定律/库仑力，有
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~,
\end{equation}
又由 “
极坐标中单位矢量的偏导” 得
\begin{equation}
\dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } = \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~.
\end{equation}
最后由
式 9 ，极坐标系中的角动量等于（$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是垂直于轨道平面的单位矢量，由
右手定则决定，参考
柱坐标系）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = mr^2\dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
将
式 3 至
式 5 代入
式 2 得
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = -\frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times (mr^2\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) - mk\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}}
=-mk\dot\theta ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} )
= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
最后一个等号成立是因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $，可以类比直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $。证毕。
定义法
通过类似比耐公式的方法，可以直接计算出 LRL 矢量的具体值，借此来说明其守恒。由平方反比力
\begin{equation}
\begin{cases}
F_{r}=-\frac{k}{r^{2}} = m\left(\ddot r -\dot \theta ^{2}r\right)~, \\
L = mr^{2}\dot \theta ~.
\end{cases}
\end{equation}
进行变换 $u = \frac{1}{r} \Longleftrightarrow r = \frac{1}{u}$ 得到
\begin{equation}
\begin{cases}
F_{r}= -ku^{2} ~,\\
L = \frac{m\dot \theta}{u^{2}}\Rightarrow \dot \theta = \frac{Lu^2}{m} ~.\\
\end{cases}
\end{equation}
将 r 关于时间的导数替换为 u 关于时间的导数
\begin{equation}
\dot r = \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{\frac{1}{u}}}{\mathrm{d}{\theta}} \dot \theta =-\frac{1}{u^{2} } \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{\theta}} \dot \theta = -\frac{L}{m} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{\theta}} ~,\\
\ddot r = \frac{\mathrm{d}{\dot r}}{\mathrm{d}{t}} =-\frac{L}{m} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} \dot \theta = -\frac{L^{2}u^{2}}{m^{2}} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} ~.\\
\end{equation}
带入 $F$ 的表达式
\begin{align}
-ku^{2}
&=m\left(-\frac{L^{2}u^{2}}{m^{2}} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} -\frac{L^{2}u^{4}}{m^{2}}\frac{1}{u}\right)~,\\
&= -\frac{L^{2}u^{2}}{m} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} -\frac{L^{2}u^{3}}{m}~.\\
\end{align}
整理得到
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} = \frac{mk}{L^{2}}-u ~,
\end{equation}
解得（选取特殊的 $\theta$ 起点）
\begin{equation}
u = \frac{mk}{L^{2}} + A \cos \theta ~,
\end{equation}
，即
\begin{equation}
r = \frac{1}{u} = \frac{1}{\frac{mk}{L^{2}} + A \cos \theta} = \frac{\frac{L^2}{mk}}{1 + \frac{L^2}{mk} A \cos \theta} ~,
\end{equation}
借此我们可以表示出速度
\begin{align}
\boldsymbol{\mathbf{v}} &= \dot r \hat r + r \dot \theta \hat \theta ~,\\
&=-\frac{L}{m} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{\theta}} \hat r + \frac{1}{u} \frac{Lu^{2}}{m} \hat \theta ~,\\
&=-\frac{L}{m} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{\theta}} \hat r + \frac{Lu}{m} \hat \theta ~.\\
\end{align}
\begin{align}
\boldsymbol{\mathbf{p}} &= m \boldsymbol{\mathbf{v}} = -L\frac{du}{d\theta}\hat r + Lu \hat \theta ~,\\
&=L A \sin \theta \hat r + L \left(\frac{mk}{L^{2}} + A \cos \theta \right)\hat \theta ~,\\
&=L A \sin \theta \hat r + \left(\frac{mk}{L} +L A \cos \theta \right)\hat \theta ~.\\
\end{align}
\begin{align}
\boldsymbol{\mathbf{R}} &= \boldsymbol{\mathbf{p}} \times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk \hat r ~,\\
&=\left(L A \sin \theta \hat r + \left(\frac{mk}{L} +L A \cos \theta \right)\hat \theta \right) \times L \hat k -mk\hat r ~,\\
&=\left(-L^{2} A \sin \theta \hat \theta + \left(mk +L^{2} A \cos \theta \right)\hat r \right) \times L \hat k -mk\hat r ~,\\
&= L^{2}A\left(-\sin \theta \hat \theta+\cos \theta \hat r \right) ~.\\
\end{align}
将极坐标转换为平面直角坐标系
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat r = \cos \theta \hat{x} + \sin \theta \hat{y} ~,\\
\hat \theta = -\sin \theta \hat{x} +\cos \theta \hat{y} ~.\\
\end{cases}
\end{equation}
故有
\begin{align}
&\phantom{=} -\sin \theta \hat \theta+\cos \theta \hat r ~,\\
&=-\sin \theta \left(-\sin \theta \hat{x} +\cos \theta \hat{y}\right)+ \cos \theta \left(\cos \theta \hat{x} + \sin \theta \hat{y} \right)~,\\
&= \left(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta\right)\hat x + \left(-\sin \theta \cos \theta +\sin \theta \cos \theta \right)\hat y ,\\
&= \hat x ~.\\
\end{align}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} = L^{2}A \hat x$ 与 $r$ 和 $\theta$ 无关
2. 如何发现 LRL 矢量
根据分析力学的理论，一个有 $s$ 自由度的系统应当有 $2s-1$ 个运动积分，也就是对时间有 $2s-1$ 个守恒量。而开普勒问题本质是在空间内的三维问题（我们可以降维到二维是因为角动量守恒，使得运动轨迹在同一平面内），有 $s=3$ 的自由度，也就应当有 $2s-1=5$ 个运动积分。容易发现系统能量 $E$、角动量在各方向的分量 $L_x, L_y, L_z$ 共 $4$ 个守恒量，仍然差一个，所以需要考虑构造一个守恒量。
猜测
这个方法有一些很巧妙的成分在内。我们首先通过 “猜测” 考虑 LRL 矢量是由 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 构成。$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒，考虑坐标 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} =m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与其的叉积
$ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $，两者对于时间的全微分
$$ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)}}{\mathrm{d}{t}} , \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)}}{\mathrm{d}{t}} ~,$$
可以计算得到
$$\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{P}} &= \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} /m, \\
\boldsymbol{\mathbf{Q}} &= - \frac{1}{r} \frac{\partial V(r)}{\partial r} \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{aligned}$$
而对于开普勒问题，$V(r) = -k/r$，这样就不难得到
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - \frac{m k \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r}\right)}}{\mathrm{d}{t}} =0 ~.
\end{equation}
3. LRL 矢量的模长与方向
将 LRL 矢量除以 $mk$ 可以得到一个无量纲矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 与 LRL 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 同向（下面会看到为什么这个矢量叫 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $）
$$ \boldsymbol{\mathbf{e}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }{mk} = \frac{m}{k} \left( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)- \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.$$
考虑到 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} = m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$，将其代入 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的表达式就会有
$$ \boldsymbol{\mathbf{A}} = m^2 (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} })^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} - m^2(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} )\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - km \boldsymbol{\mathbf{r}} /r ~.$$
所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = 0, \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} ^2 - kmr$。后面一个式子可以化为 $Ar\cos \phi = L^2-kmr$，$\phi$ 是轨道的夹角，于是
$$r(\phi) = L^2/(km + A \cos \phi) ~,$$
也就是 $r(\phi) = (L^2/km)/(1+ (A/km) \cos \phi)$，发现 $A/km$ 就是离心率。这就是 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 得名的原因。
而另外的，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 垂直。将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 置于椭圆的几何中心可以发现其与椭圆的长轴是同方向的。所以另外有一有趣推论如下：
推论 1
LRL 矢量的变化对应轨道方向的变化。对于进动问题来说进动角就是 LRL 矢量变化的角。
刚才另外提到了，运动积分应当有 $5$ 个，但是 LRL 矢量有三个分量 $A_x, A_y, A_z$，为什么只对应一个呢？我们发现，有两个约束条件：
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} &= 0 ~, \\
| \boldsymbol{\mathbf{A}} | &= kme = \sqrt{m^2k^2 + 2m E L^2} ~.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
所以实际仅提供了一个运动积分。
4. LRL 矢量对应的系统对称性
定理 1 诺特定理指出，任意一个系统的连续对称性对应一个守恒律（有一个守恒量），其逆定理一个守恒律（即一个守恒量）也对应一个系统的连续对称性也总是成立。特别的，LRL 矢量的对称性来源是平方反比力，不同于其他的对称性来源于几何对称性。
实际上对应的对称性是：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-y\dot y-z\dot z+2\dot x y -x \dot y +2\dot x z-x\dot z \\
-x \dot x - z \dot z + 2 \dot y z - y \dot z + 2 \dot y x - y \dot x \\
-x \dot x - y \dot y + 2 \dot z x - z \dot x + 2 \dot z y - z \dot y
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
对于开普勒问题的总能量即哈密顿量 $H = p^2/(2m) + \alpha/r$，不难推导得到以下对称性：
- $H < 0$，$\{$ 角动量 $,$ LRL 矢量 $\}$ 张成的李群 $\sim SO(4)$；
- $H = 0 $，张成的李群 $\sim$ $\mathbb R^3$ 空间中运动群（欧几里得群）；
- $H > 0$，张成的李群 $\sim SO(1, 3)$。
下面提供一个思路：
角动量的运动积分是 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _1 = [ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} ]$，其中 $[ \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} ]$ 是相空间的交换子，这对应角动量守恒。
而 LRL 矢量的运动积分是 $ \boldsymbol{\mathbf{B_1}} = [ \boldsymbol{\mathbf{p}} /m, \boldsymbol{\mathbf{J_1}} ] + \alpha \boldsymbol{\mathbf{r}} / r$。考虑物理量间的泊松括号：
\begin{equation}
\{p_i, {J_1}_{j}\} = \begin{pmatrix}
0 & p_3 & -p_2 \\
-p_3 & 0 & p_1 \\
p_2 & -p_1 & 0
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
从而角动量的运动积分与 LRL 矢量的运动积分的泊松括号
\begin{equation}
\{{J_1}_i, {B_1}_j\} = \begin{pmatrix}
0 & {B_1}_3 & -{B_1}_2 \\
-{B_1}_3 & 0 & {B_1}_1 \\
{B_1}_2 & -{B_1}_1 & 0
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
不妨再考虑 $\{{B_1}_i, {B_1}_j\}$，
\begin{equation}
\{{B_1}_i, {B_1}_j\} = \begin{pmatrix}
0 & \lambda {J_1}_3 & -\lambda {J_1}_2 \\
-\lambda {J_1}_3 & 0 & \lambda {J_1}_1 \\
\lambda {J_1}_2 & -\lambda {J_1}_1 & 0
\end{pmatrix}~,\ \lambda = -2H/m ~.
\end{equation}
就不难得到结论。