贡献者： addis; stevenxiu
预备知识 极坐标系
，二体系统
，角动量守恒（单个质点）
，机械能守恒（单个质点）
1中心力场问题可以表述为：在惯性系中，若一个质点只受来自某固定点的力
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = F(r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~,
\end{equation}
求质点的运动规律。
首先注意力场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个保守场（见式 7 ），所以中心力场问题也可以用势能函数 $V(r)$ 来描述（式 11 ），且有
\begin{equation}
F(r) = - \frac{\mathrm{d}{V(r)}}{\mathrm{d}{r}} ~.
\end{equation}
我们已知二体系统的运动可以等效为单个质点的中心力场问题，所以在质点的中心力场问题的讨论中，只需把质点质量 $m$ 和位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 分别替换成约化质量 $\mu$ 和相对矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 即可拓展到二体系统。
1. 平面性
质点的角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }~.
\end{equation}
对角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 关于时间 $t$ 求导
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} =m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } +m \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }=m \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }~,
\end{equation}
由式 1 可得
\begin{equation}
\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{F(r)}{m} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} =m \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }= r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \times F(r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} =0~,
\end{equation}
即
角动量守恒（角动量的方向和模长均守恒）。
因为角动量垂直于位置矢量和速度矢量所在的平面，故每一时刻位置矢量和速度矢量都在同一平面内，并且加速度矢量也在此平面内。因此，质点在中心力场中的运动是一个平面问题。
2. 极坐标中的运动方程
由于式 1 中的 $F(r)$ 与位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的方向无关，在极坐标系中处理中心力场问题通常比较简单。极坐标中质点的速度和加速度分别为
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \left(\ddot{r} - r \dot\theta^2 \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac 1r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (r^2\dot\theta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~.
\end{equation}
由
式 7 得质点的角动量在极坐标中的表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} })
= mr \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times (\dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} )
= mr^2\dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是垂直于极坐标平面的单位矢量（这个符号来自
柱坐标系）。
另外在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 方向可得
\begin{equation}
m(\ddot{r} - r \dot\theta^2) = F(r)~.
\end{equation}
使用
式 9 消去
式 10 中的 $\dot\theta$，得
\begin{equation}
m\ddot r = F(r) + \frac{L^2}{mr^3}~,
\end{equation}
该式被称为中心力场问题的
径向方程。
3. 一维等效势能与稳定轨道
由于式 11 中不含 $\theta$，我们可以将其等效为一个一维问题，等号右侧看做等效力 $F'(r)$。求等效力的反原函数可得一维等效势能
\begin{equation}
V'(r) = V(r) + \frac{L^2}{2mr^2}~.
\end{equation}
自然地，我们可以利用等效一维问题中的能量守恒列出 $r(t)$ 的一阶微分方程
2
\begin{equation}
E = \frac 12 m\dot r^2 + V'(r) = \frac 12 m\dot r^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\dot r = \pm\sqrt{\frac 2m [E - V'(r)]}~.
\end{equation}
若我们只考虑 $r$ 从小变大的过程，则取正号（负号同理）。这是一个可分离变量的一阶常微分方程，分离变量然后两边积分得
\begin{equation}
t = \int_{r_0}^{r} \frac{ \,\mathrm{d}{r} }{\sqrt{\frac 2m [E - V'(r)]}}~,
\end{equation}
积分后即可逆向得到 $r(t)$ 单调递增（递减同理）的部分。
从一维等效势能还可以判断轨道的稳定性，我们来看一个例子
图 1：万有引力的一维等效势能
例 1 万有引力
对万有引力，$V(r) = -GMm/r$，等效势能的大致图像如图 1 。注意 $V'(r)$ 的形状还取决于常数 $L$，但根据 “用极值点确定函数图像”，曲线总存在一个最小值，且 $\lim\limits_{r\to\infty}V'(r) = 0$，$\lim\limits_{r\to 0} V'(r) = +\infty$。
若质点具有能量 $E_2 > 0$，由图可得这个质点不可能一直绕力心旋转，而是从无穷远处入射，在距离 $r_0$ 时开始远离力心，最终回到无穷远。若质点具有能量 $E_1 < 0$，由图可知 $r$ 始终在 $[r_1, r_2]$ 区间内往返变动（在 “开普勒问题” 中，我们将会知道 $E_1$ 和 $E_2$ 分别对应椭圆轨道和双曲线轨道）。特殊地，当质点能量等于 $V'(r)$ 的最小值时，它与力心的距离将保持不变，即轨道为圆形。若给处于圆形轨道的质点一个扰动，$r$ 将在曲线最低点附近振动，且振动频率由最低点处曲线的二阶导数决定，我们将这种不会因为扰动而彻底改变的轨道叫做稳定轨道。
图 2：四次方反比力的一维等效势能
例 2 四次方反比力
作为一个不稳定轨道的例子，我们来考察 $V(r) = -k/r^3$，其中 $k$ 是一个大于零的常数。等效势能的大致图像如图 2 。若质点的能量大于 $V'(r_0)$，则质点会从无穷远入射，穿过力心然后回到无穷远，若质点的能量小于零，它将被困在 $r < r_1$ 的圆形势阱内并不断穿过力心。若质点的能量恰好为 $V'(r_0)$，那么它将以 $r_0$ 为半径做圆周运动，然而任何微小的扰动都会使其从势能曲线顶端向两侧滑落，从而彻底改变轨道的性质。我们说这样的轨道是不稳定的。
1. ^ 本文参考 [1]。
2. ^ 式 13 可以在极坐标系中直接推出，先列出 $E = m \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2/2 + V(r)$，再将式 7 代入，并用式 9 消去 $\dot\theta$ 即可。
[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed
