开普勒问题

                     

贡献者: addis

预备知识 万有引力,角动量,椭圆,双曲线,抛物线

   在中心力场问题 中,若 $F(r)$ 是平方反比的力(斥力为正引力为负),即

\begin{equation} F(r) = \frac{k}{r^2} \qquad V(r) = \frac{k}{r}~, \end{equation}
则该问题被称为开普勒问题。其中 $k$ 为非零实数。例如对于万有引力 $k = -GMm$,对于异种电荷间的库仑力,有1 $k = Qq/(4\pi\epsilon_0)$。

   在开普勒问题中,可以证明质点的运动轨道是圆锥曲线的一种,力心处于焦点。质点的机械能(动能加势能)$E$ 和角动量 $L$ 可以唯一地确定轨道的形状和大小。轨道的形状一般由离心率 $e$ 描述,大小由半通径 $p$ 描述(式 1 )。$E < 0$ 对应椭圆轨道,$E = 0$ 对应抛物线轨道2,$E > 0$ 对应双曲线轨道。注意双曲线轨道有两支,当 $k < 0$(引力)时取离中心天体较近的一支,$k > 0$(斥力)时取较远的一支。

\begin{equation} e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}~, \end{equation}
\begin{equation} p = \frac{L^2}{m \left\lvert k \right\rvert }~, \end{equation}
椭圆或双曲线的大小和形状也可以由参数 $a,b$ 描述。$a,b$ 与 $e,p$ 的对应关系见 “椭圆” 和 “双曲线”。
\begin{equation} a = \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2 \left\lvert E \right\rvert }~, \end{equation}
\begin{equation} b = \frac{L}{\sqrt{2m \left\lvert E \right\rvert }}~, \end{equation}
证明见下文。若要求位置和时间的关系,见 “开普勒问题的运动方程”。

例 1 

   由式 4 可见对同一个中心天体,半长轴 $a$ 仅和物体的机械能 $E$ 有关。例如在地球表面同一位置,以同一初速度向不同角度发射弹道导弹,它的半长轴 $a$ 将始终相同但离心率 $e$ 或半短轴 $b$ 将不同。

   另外注意除了水平发射,其他任何角度以小于第二宇宙速度发射都会重新撞向地面。我们在 “开普勒问题的数值计算(Matlab)” 中给出了一个数值计算和画图程序。

1. 证明

   如果我们已知质点轨道为圆锥曲线,只需要简单的代数方法就可以得到上述关系。而证明轨道是圆锥曲线则要复杂得多,见 “开普勒第一定律的证明”。

椭圆轨道

   令椭圆轨道($k<0$)距离焦点的最近和最远距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$,列出总能量(动能加势能)守恒

\begin{equation} \frac12 m v_1^2 + \frac{k}{r_1} = \frac12 mv_2^2 + \frac{k}{r_2}~, \end{equation}
以及角动量守恒
\begin{equation} mv_1 r_1 = mv_2 r_2~. \end{equation}
式 7 中的 $v_2$ 代入式 6 ,可得
\begin{equation} v_1^2 = \frac{-2k/m}{r_1 + r_2} \frac{r_2}{r_1}~. \end{equation}
代入式 6 的左边,并使用 $r_1+r_2=2a$(式 11 )得到总能量
\begin{equation} E = \frac{k}{2a}~. \end{equation}
式 8 代入式 7 的左边,并使用 $r_1 r_2 = (a+c)(a-c) =b^2$ 得角动量
\begin{equation} L = b\sqrt{\frac{-mk}{a}}~, \end{equation}
式 9 式 10 逆转即可得到式 4 式 5 。要得到式 2 式 3 ,只需使用式 8 式 9 即可。

抛物线轨道

   已知抛物线轨道($k<0$)的总能量为零,抛物线轨道离焦点的最近距离为焦距 $p/2$,该点处,角动量和能量为

\begin{equation} L = mv_0 \frac p2~, \end{equation}
\begin{equation} 0 = E = \frac 12 mv_0^2 + \frac{k}{p/2}~, \end{equation}
两式消去 $v_0$ 得角动量为 $L = \sqrt{mkp}$。证毕。

双曲线轨道

   无论 $k$ 的正负如何,令双曲线轨道离焦点最近的距离为 $r_1$,可列出总能量守恒

\begin{equation} \frac12 mv_0^2 = \frac12 mv_1^2 + \frac{k}{r_1}~. \end{equation}
该式左边表示质点在无穷远处的总能量,此时势能为 $0$,总能量等于动能。再来看角动量守恒
\begin{equation} m v_0 b = m v_1 r_1~, \end{equation}
该式左边为无穷远处的角动量。由式 11 可知,在无穷远处,双曲线的渐近线(无论哪一支)与焦点的距离为 $b$。

   用以上两式消去 $v_1$,再利用 $r_1 = a - c$,得

\begin{equation} E = \frac 12 m v_0^2 = \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2a}~, \end{equation}
再将该式的 $v_0$ 代入式 14 左边得
\begin{equation} L = b\sqrt{\frac{m \left\lvert k \right\rvert }{a}}~. \end{equation}


1. ^ 高中所学的库仑定律的系数 $k$ 在大学物理中通常记为 $1/(4\pi\epsilon_0)$,其中 $\epsilon_0$ 为真空中的电介质常数,详见 “库仑定律”。
2. ^ 显然只有引力($k < 0$)可以产生非正的机械能,即椭圆轨或抛物线轨道。

                     

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