开普勒问题

贡献者： addis

预备知识　万有引力，角动量，椭圆，双曲线，抛物线

　　在中心力场问题中，若 $F (r)$ 是平方反比的力（斥力为正引力为负），即

\begin{matrix} (1) & F (r) = \frac{k}{r^{2}} V (r) = \frac{k}{r}, \end{matrix}

则该问题被称为开普勒问题。其中

k

为非零实数。例如对于万有引力

k = - G M m

，对于异种电荷间的库仑力，有¹

k = Q q / (4 π ϵ_{0})

。

　　在开普勒问题中，可以证明质点的运动轨道是圆锥曲线的一种，力心处于焦点。质点的机械能（动能加势能） $E$ 和角动量 $L$ 可以唯一地确定轨道的形状和大小。轨道的形状一般由离心率 $e$ 描述，大小由半通径 $p$ 描述（式 1 ）。 $E < 0$ 对应椭圆轨道， $E = 0$ 对应抛物线轨道²， $E > 0$ 对应双曲线轨道。注意双曲线轨道有两支，当 $k < 0$ （引力）时取离中心天体较近的一支， $k > 0$ （斥力）时取较远的一支。

\begin{matrix} (2) & e = \sqrt{1 + \frac{2 E L^{2}}{m k^{2}}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & p = \frac{L^{2}}{m | k |}, \end{matrix}

椭圆或双曲线的大小和形状也可以由参数

a, b

描述。

a, b

与

e, p

的对应关系见 “椭圆” 和 “双曲线”。

\begin{matrix} (4) & a = \frac{| k |}{2 | E |}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & b = \frac{L}{\sqrt{2 m | E |}}, \end{matrix}

证明见下文。若要求位置和时间的关系，见 “开普勒问题的运动方程”。

例 1　

　　由式 4 可见对同一个中心天体，半长轴 $a$ 仅和物体的机械能 $E$ 有关。例如在地球表面同一位置，以同一初速度向不同角度发射弹道导弹，它的半长轴 $a$ 将始终相同但离心率 $e$ 或半短轴 $b$ 将不同。

　　另外注意除了水平发射，其他任何角度以小于第二宇宙速度发射都会重新撞向地面。我们在 “开普勒问题的数值计算（Matlab）” 中给出了一个数值计算和画图程序。

1. 证明

　　如果我们已知质点轨道为圆锥曲线，只需要简单的代数方法就可以得到上述关系。而证明轨道是圆锥曲线则要复杂得多，见 “开普勒第一定律的证明”。

椭圆轨道

　　令椭圆轨道（ $k < 0$ ）距离焦点的最近和最远距离分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，列出总能量（动能加势能）守恒

\begin{matrix} (6) & \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{k}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{k}{r_{2}}, \end{matrix}

以及角动量守恒

\begin{matrix} (7) & m v_{1} r_{1} = m v_{2} r_{2} . \end{matrix}

把式 7 中的

v_{2}

代入式 6 ，可得

\begin{matrix} (8) & v_{1}^{2} = \frac{- 2 k / m}{r_{1} + r_{2}} \frac{r_{2}}{r_{1}} . \end{matrix}

代入式 6 的左边，并使用

r_{1} + r_{2} = 2 a

（式 11 ）得到总能量

\begin{matrix} (9) & E = \frac{k}{2 a} . \end{matrix}

把式 8 代入式 7 的左边，并使用

r_{1} r_{2} = (a + c) (a - c) = b^{2}

得角动量

\begin{matrix} (10) & L = b \sqrt{\frac{- m k}{a}}, \end{matrix}

将式 9 和式 10 逆转即可得到式 4 和式 5 。要得到式 2 式 3 ，只需使用式 8 和式 9 即可。

抛物线轨道

　　已知抛物线轨道（ $k < 0$ ）的总能量为零，抛物线轨道离焦点的最近距离为焦距 $p / 2$ ，该点处，角动量和能量为

\begin{matrix} (11) & L = m v_{0} \frac{p}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & 0 = E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{k}{p / 2}, \end{matrix}

两式消去

v_{0}

得角动量为

L = \sqrt{m k p}

。证毕。

双曲线轨道

　　无论 $k$ 的正负如何，令双曲线轨道离焦点最近的距离为 $r_{1}$ ，可列出总能量守恒

\begin{matrix} (13) & \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{k}{r_{1}} . \end{matrix}

该式左边表示质点在无穷远处的总能量，此时势能为

0

，总能量等于动能。再来看角动量守恒

\begin{matrix} (14) & m v_{0} b = m v_{1} r_{1}, \end{matrix}

该式左边为无穷远处的角动量。由式 12 可知，在无穷远处，双曲线的渐近线（无论哪一支）与焦点的距离为

b

。

　　用以上两式消去 $v_{1}$ ，再利用 $r_{1} = a - c$ ，得

\begin{matrix} (15) & E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{| k |}{2 a}, \end{matrix}

再将该式的

v_{0}

代入式 14 左边得

\begin{matrix} (16) & L = b \sqrt{\frac{m | k |}{a}} . \end{matrix}

1. ^ 高中所学的库仑定律的系数 $k$ 在大学物理中通常记为 $1 / (4 π ϵ_{0})$ ，其中 $ϵ_{0}$ 为真空中的电介质常数，详见 “库仑定律”。
2. ^ 显然只有引力（ $k < 0$ ）可以产生非正的机械能，即椭圆轨或抛物线轨道。