贡献者： zhousiyi; addis
预备知识 经典场论
1. 拉格朗日场论
这一节里面，我们复习一下经典场的知识，为后面的量子场论做铺垫。首先要复习的一个重要的量就是拉式量了，定义如下
\begin{equation}
S = \int L dt = \int \mathcal L(\phi,\partial_\mu \phi)d^4 x~,
\end{equation}
经典场论的重要原理是变分原理 $\delta S = 0$。
\begin{equation}
\begin{aligned}
0 &=\delta S \\
&=\int d^{4} x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \phi\right)} \delta\left(\partial_{\mu} \phi\right)\right\} \\
&=\int d^{4} x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \phi\right)}\right) \delta \phi+\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \phi\right)} \delta \phi\right)\right\}~.
\end{aligned}
\end{equation}
最后一项是一个表面项，这里我们考虑边界条件是 $\delta \phi$ 为零的构型，这一项就可以忽略。现在我们看前两项。因为对于任意的 $\delta \phi$ 这个式子都为零，所以我们必须让 $\delta \phi$ 前面的系数为零，这样，我们就推出了著名的欧拉-拉格朗日方程
\begin{equation}
\partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} \bigg) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} = 0 ~.
\end{equation}
2. 哈密顿场论
拉式量的方法的优点是所有的量都是明显洛仑兹不变的。哈密顿场论的优点是更容易过度到量子力学。
对于一个分立系统，我们可以定义共轭动量
定义 1 共轭动量
对于每个动力学变量 $q$，我们可以定义它的相应的共轭动量
\begin{equation}
p \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q}~.
\end{equation}
那么哈密顿量的定义如下
定义 2 哈密顿量
\begin{equation}
H \equiv \sum p \dot q - L~.
\end{equation}
上面的定义也可以推广到连续系统。只要假设空间坐标 $\mathbf x$ 是分立的就可以了，这样对于连续系统，我们可以定义如下的共轭动量
定义 3 连续系统的共轭动量
\begin{equation}
\begin{aligned}
p(\mathbf x) & \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot \phi(\mathbf x)} = \frac{\partial}{\partial \dot \phi(\mathbf x)} \int \mathcal L(\phi(\mathbf y),\dot \phi(\mathbf y)) d^3 y \\
& \sim \frac{\partial}{\partial \dot \phi(\mathbf x)} \sum_{\mathbf y} \mathcal L(\phi(\mathbf y,\dot \phi(\mathbf y))) d^3 y=\pi(\mathbf x) d^3 x~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\pi(\mathbf x) \equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \phi(\mathbf x)}~
\end{equation}
是与 $\phi(\mathbf x)$ 共轭的哈密顿量密度。
因此哈密顿量为
\begin{equation}
H = \int d^3 x\,\, p(\mathbf x) \dot \phi(\mathbf x) - L~,
\end{equation}
现在我们来看一个简单的例子。
\begin{align}\nonumber
\mathcal L & = \frac{1}{2} \dot \phi^2 - \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\
& = \frac{1}{2} (\partial_\mu\phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2~.
\end{align}
根据这个拉式量可以写出运动方程
\begin{equation}
\bigg( \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 +m^2 \bigg)\phi = 0~,\quad (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi = 0~.
\end{equation}
这就是克莱因戈登方程。这个标量场对应的哈密顿量为
\begin{equation}
H = \int d^3x \mathcal H = \int d^3 x \bigg[ \frac{1}{2} \pi^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \bigg] ~.
\end{equation}
3. 诺特定理
定理 1 诺特定理
每个连续对称性都有着相应的守恒定律。
- 物理系统的空间平移不变性（物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量守恒律；
- 转动不变性给出了角动量守恒律；
- 时间平移不变性给出了能量守恒定律。
现在考虑标量场 $\phi$ 的无穷小变换
\begin{equation}
\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) +\alpha \Delta \phi (x)~.
\end{equation}
这里 $\alpha$ 是一个无穷小参数，$\Delta \phi$ 是场的变化。如果这个变换
令 $\phi$ 场的运动方程保持不变的话，我们就把这个变换称为一个
对称性。因为拉式量的不变性总是跟运动方程的不变性相联系的，所以我们也可以说，如果这个变换令拉式量保持不变的话，我们就说这个变换是一个对称性。
要注意的点是如果一个变换令作用量的改变是一个全导数，我们也可以称这个变换是一个对称性。因为一个作用量的改变是一个全导数的时候，对应的运动方程仍然是不变的。具体来说就是，如果一个变换令运动方程的改变为如下形式的时候
\begin{equation}
\mathcal L(x) \rightarrow \mathcal L (x) +\alpha \partial_\mu \mathcal J^\mu (x)~,
\end{equation}
我们就可以说这个变换是一个对称。
我们可以对拉式量 $\mathcal L$ 进行变分。
\begin{align}\nonumber
\alpha \Delta \mathcal L & = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} (\alpha \Delta \phi) + \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial_\mu(\alpha \Delta \phi)\bigg) \\
& = \alpha \partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu\phi)} \Delta \phi \bigg) + \alpha \bigg[ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} - \partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi)} \bigg) \bigg]~.
\end{align}
由欧拉-拉格朗日方程可知，第二项为零。剩余的第一项我们记作 $\alpha \partial_\mu \mathcal J$,于是我们有
\begin{equation}
\partial_\mu j^\mu(x) = 0~, \quad {\rm for}\quad j^\mu(x) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi)} \Delta \phi - \mathcal J^\mu~,
\end{equation}
这里 $j^\mu(x)$ 是守恒流。对于 $\mathcal L$ 的连续对称性来说，我们得到了这样一个守恒律。
守恒律的另一种表述是：电荷
\begin{equation}
Q \equiv \int_{\rm all\,\, space} j^0 d^3 x~,
\end{equation}
是一个不随时间变化而变化的常数。
例子 1：只有动能项的实标量场
现在我们来举个最简单的例子，考虑只有动能项的标量场，其拉式量为
\begin{equation}
\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2~,
\end{equation}
我们来考虑这样一个变换 $\phi \rightarrow \phi + \alpha $,在这个变换下拉式量不变。那么对应的流
\begin{equation}
j^\mu = \partial^\mu \phi~
\end{equation}
就是守恒流。
例子 2：有质量的复标量场
现在我们来考虑一个更复杂一些的例子，也就是有质量的标量场。拉式量如下
\begin{equation}
\mathcal L = |\partial_\mu\phi|^2 - m^2 |\phi|^2~,
\end{equation}
这里 $\phi$ 是一个复标量场。这个拉式量在 $\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$ 变换下保持不变。对于无穷小变换
\begin{equation}
\alpha \Delta \phi = i \alpha \phi~,\quad \alpha \Delta \phi^* = -i\alpha \phi^*~.
\end{equation}
来说，我们可以推出对应的诺特流
\begin{equation}
j^\mu = i[(\partial^\mu \phi^*)\phi-\phi^*(\partial^\mu \phi)]~
\end{equation}
是守恒的。这个 $j^\mu$ 就是场带的电磁场的流密度。而 $j^0$ 就是对应的电荷。
习题 1 证明上面的 $j^\mu$ 是复标量场的诺特流
从式 22 的变换规则可知，
\begin{align}\nonumber
\alpha \Delta \mathcal L & = \frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi} (\alpha \Delta \phi) +\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} \bigg) \partial_\mu(\alpha\Delta\phi) \\\nonumber
&+\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi^*} (\alpha \Delta \phi^*) +\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} \bigg) \partial_\mu(\alpha\Delta\phi^*) \\\nonumber
& = \frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi} ( i \alpha \phi) +\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} \bigg) \partial_\mu(i \alpha \phi) \\\nonumber
& +\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi^*} (i \alpha \phi^*) +\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} \bigg) \partial_\mu(i \alpha \phi^*) \\\nonumber
& = \frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi} ( i \alpha \phi) +\partial_\mu \bigg(\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} \bigg) (i \alpha \phi)\bigg) -\partial_\mu\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} \bigg)(i\alpha\phi) \\\nonumber
& +\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi^*} (-i \alpha \phi^*) + \partial_\mu\bigg(\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} \bigg) (-i \alpha \phi^*) \bigg) -\partial_\mu\bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} \bigg)(-i\alpha\phi^*) \\\nonumber
& = (i\alpha\phi) \bigg[ \frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi} - \partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg) \bigg] - \partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} (i\alpha\phi) \bigg)\\\nonumber
& +(-i\alpha\phi^*) \bigg[ \frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi^*} - \partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\bigg) \bigg] - \partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^*)} (i\alpha\phi^*) \bigg)\\
&= i \alpha \partial_\mu ((\partial^\mu\phi^*)\phi-(\partial^\mu\phi)\phi^*) = i \alpha \partial_\mu j^\mu~.
\end{align}
在上述推导中，我们使用了
\begin{equation}
\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}= (\partial^\mu\phi^*)~,\quad
\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}= (\partial^\mu\phi)~.
\end{equation}
诺特定理也可以用到时空的变换中。比如说时空的平移和旋转。比如我们考虑这样的时空平移
\begin{equation}
x^\mu \rightarrow x^\mu - a^\mu~,
\end{equation}
场的变换是
\begin{equation}
\phi(x) \rightarrow \phi (x+a) = \phi (x) + a^\mu \partial_\mu \phi(x)~,
\end{equation}
因为拉式量也是一个标量，它的变换是
\begin{equation}
\mathcal L \rightarrow \mathcal L + a^\mu \partial_\mu \mathcal L = \mathcal L + a^\nu \partial_\mu (\delta^\mu_\nu \mathcal L)~,
\end{equation}
那么现在我们得到了四个守恒流
\begin{equation}
T^\mu{}_\nu \equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - \mathcal L \delta^\mu{}_\nu~,
\end{equation}
这个就是能量动量张量。那时间平移不变对应的守恒量就是哈密顿量
\begin{equation}
H = \int T^{00} d^3 x = \int \mathcal H d^3 x~,
\end{equation}
空间平移不变对应的守恒量就是
\begin{equation}
P^i = \int T^{0i} d^3x = - \int \pi \partial_i \phi d^3 x ~.
\end{equation}