贡献者： addis
1开普勒问题中若已知轨道形状，我们来计算质点在轨道上的位置如何关于时间变化。直观上我们可以使用开普勒第二定律使用扫过的面积推导出从出发点到达任意位置所需的时间。但这里介绍对半径做定积分的方法，二者的结果是一样的。
由式 15 得
\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{r_0}^r \frac{ \,\mathrm{d}{r'} }{\sqrt{E - k/r' - L^2/(2mr'^2)}}~.
\end{equation}
该式对任何圆锥曲线轨道都适用，其中 $r_0$ 是轨道的近日点，在标准的圆锥曲线方程（
式 1 ）中对应 $\theta = \pi$。令质点经过近日点时 $t= 0$。把这个积分的结果 $t(r)$ 取反函数，就可以得到 $r(t)$。同理，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{t} = \frac{mr^2}{L} \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
将
式 1 代入，积分得
\begin{equation}
t = \frac{L^3}{mk^2} \int_{\pi}^\theta \frac{ \,\mathrm{d}{\theta'} }{(1 - e\cos \theta')^2 }~.
\end{equation}
以下我们令 $\Delta\theta$ 为某位置相对于近日点的极角增量，即 $\Delta \theta = \theta - \pi$。显然对任何圆锥曲线 $\Delta \theta$ 和 $t$ 的取值区间关于原点对称，且由轨道的对称性可知 $\Delta\theta(t)$ 是一个奇函数。以下默认质点绕中心天体逆时针转动，所以 $\Delta\theta(t)$ 单调递增，若要考虑顺时针，取 $-\Delta\theta(t)$ 即可。
对抛物线（$e = 1$），假设逆时针运动，，有
\begin{equation}
t = \frac{L^3}{2mk^2} \left(\tan\frac{\Delta\theta}{2} + \frac{1}{3}\tan^3 \frac{\Delta\theta}{2} \right) \quad (-\pi<\Delta\theta<\pi)~.
\end{equation}
对于椭圆（$e < 1$），可以用一个参数偏近点角（eccentric anomaly） $\psi$ 来代替 $\Delta\theta$ 会更方便。$\psi$ 的定义为
\begin{equation}
r = a(1-e\cos\psi)~,
\end{equation}
其中 $a$ 是半长轴。当 $\Delta\theta $ 从 $-\pi$ 变化到 $\pi$ 时，$\psi$ 也从 $-\pi$ 变化到 $\pi$，$\psi(\Delta\theta)$ 是一个递增的奇函数。
\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{ma^3}{ \left\lvert k \right\rvert }} (\psi - e \sin\psi)~.
\end{equation}
该式被称为
开普勒方程（Kepler's equation），开普勒第二定律也可以由该式验证。
对于双曲线（$e>1, k<0$），双曲偏近点角（hyperbolic eccentric anomaly） $\xi$ 使用下式定义：
\begin{equation} r = a(e\cosh\xi - 1) \qquad (\xi \in \mathbb R)~.
\end{equation}
$\xi$ 从 $-\infty$ 到 $\infty$ 的变化对应 $\Delta\theta$ 从 $-\pi+\gamma$ 到 $\pi-\gamma$ 变化，$\gamma$ 是双曲线渐进角（
式 10 中的 $\theta_0$）。$\xi(\Delta\theta)$ 是一个递增奇函数。
\begin{equation} t = \sqrt{\frac{ma^3}{ \left\lvert k \right\rvert }} (e\sinh\xi - \xi)~.
\end{equation}
对于双曲线（$e>1, k>0$），我们需要考虑双曲线离焦点较远的一支（式 4 ）旋转 $180^\circ$ 得
\begin{equation} r = -\frac{p}{1 + e\cos\theta} \quad (\pi-\gamma<\theta<\pi+\gamma)~.
\end{equation}
类似地，有
2
\begin{equation} r = a(e\cosh\xi + 1) \qquad (\xi \in \mathbb R)~,
\end{equation}
此时 $\Delta\theta = \theta \in (-\gamma, \gamma)$
\begin{equation} t = \sqrt{\frac{ma^3}{ \left\lvert k \right\rvert }} (e\sinh\xi + \xi)~.
\end{equation}
1. 推导
未完成：……
1. ^ 参考 [1] 第三章（未讨论双曲线），以及 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 推导见这里。
[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed