梯度、梯度定理

贡献者： addis

预备知识 1　方向导数

　　在方向导数中，我们推出方向导数为

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f \cdot \hat{n} . \end{matrix}

　　其中 $\nabla f$ 就叫标量函数 $f$ 的梯度¹。要注意当且仅当 Del 算符 $\nabla$ 作用在标量函数（即函数值是一个数而不是矢量）上时，可以称其为梯度算符。这里的 $f$ 叫做势函数。对于 $N$ 维直角坐标系中的 $N$ 元函数 $f (x_{1}, x_{2} \dots x_{N})$ ，其梯度是一个矢量函数

\begin{matrix} (2) & \nabla f = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} {\hat{x}}_{i} . \end{matrix}

其中所有的

{\hat{x}}_{i}

组成直角坐标系的正交归一基，现在来看全微分关系

\begin{matrix} (3) & d f = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} d x_{i} . \end{matrix}

在直角坐标系中，位置矢量

r

的微分为

\begin{matrix} (4) & d r = \sum_{i = 1}^{N} d x_{i} {\hat{x}}_{i} . \end{matrix}

式 3 可用势函数的梯度和

d r

的内积表示

\begin{matrix} (5) & d f = \nabla f \cdot d r . \end{matrix}

由内积的几何定义可知，从某点出发，若微位移

d r

的大小不变，那么当其方向与梯度方向相同时函数增量

d f

最大；二者方向垂直时，函数增量为零；二者夹角为

θ

时，函数增量等于最大值乘以

\cos θ

。所以梯度矢量的方向是函数

f

增加最快的方向，梯度的大小等于该方向的方向导数。注意式 5 和式 1 的关系可以类比一元函数的导数和微分的关系，当函数可微时，二者等效。所以也可以把式 5 看成梯度的定义（需要对所有方向的

d r

都成立）。

　　现在我们也可以把全微分近似（“ 全微分” 式 6 ）记为矢量的形式

\begin{matrix} (6) & Δ f \approx \nabla f \cdot Δ r . \end{matrix}

1. 极坐标，柱坐标和球坐标中的梯度算符

预备知识 2　正交曲线坐标系

　　我们先写出极坐标中函数 $f (r, θ)$ 的全微分为

\begin{matrix} (7) & d f = \frac{\partial f}{\partial r} d r + \frac{\partial f}{\partial θ} d θ, \end{matrix}

再写出极坐标中的微位移为

\begin{matrix} (8) & d r = d r \hat{r} + r d θ \hat{θ} . \end{matrix}

所以为了满足梯度的定义式 5 ，我们可以把式 7 写为

\begin{matrix} (9) & d f = \frac{\partial f}{\partial r} d r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \cdot r d θ . \end{matrix}

对比式 5 ，式 8 和式 9 可以得出极坐标中的梯度算符为

\begin{matrix} (10) & \nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{θ} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial θ} . \end{matrix}

　　同理，柱坐标中的微位移（式 11 ）与函数 $f (r, θ, z)$ 的全微分可以分别表示为

\begin{matrix} (11) & d r = d r \hat{r} + r d θ \hat{θ} + d z \hat{z}, \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & d f = \frac{\partial f}{\partial r} d r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \cdot r d θ + \frac{\partial f}{\partial z} d z, \end{matrix}

所以柱坐标中的梯度算符为

\begin{matrix} (13) & \nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{θ} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial θ} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z} . \end{matrix}

　　球坐标也类似，球坐标中的微位移（式 5 ）与 $f (r, θ, ϕ)$ 的全微分可以分别表示为

\begin{matrix} (14) & d r = d r \hat{r} + r d θ \hat{θ} + r \sin θ d ϕ \hat{ϕ}, \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & d f = \frac{\partial f}{\partial r} d r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \cdot r d θ + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial f}{\partial ϕ} \cdot r \sin θ d ϕ . \end{matrix}

所以球坐标中的梯度算符为

\begin{matrix} (16) & \nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{θ} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial θ} + \hat{ϕ} \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial}{\partial ϕ} . \end{matrix}

2. 梯度定理

预备知识 3　线积分，牛顿—莱布尼兹公式

　　 梯度定理：一个标量函数 $f (r)$ 的梯度延任何路径从起点 $r_{i}$ 到终点 $r_{f}$ （角标 $i$ 表示 initial， $f$ 表示 final）线积分的结果等于该函数在末位置的函数值减去初位置的函数值。可以用下式表示

\begin{matrix} (17) & \int_{r_{i}}^{r_{f}} \nabla f (r) \cdot d r = f (r_{f}) - f (r_{i}) . \end{matrix}

梯度定理可以看做是牛顿—莱布尼兹公式

\begin{matrix} (18) & \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a) \end{matrix}

的拓展，即把一元函数拓展为多元函数，把导函数拓展为梯度函数（在一维情况下，式 17 变为式 18 ）。所以前者的证明也可以类比后者的证明。

梯度定理的证明

　　我们先把式 17 路径分为许多首尾相接的小段曲线，则整段曲线的线积分等于所有小曲线的线积分之和。假设曲线处处光滑，如果每段小曲线都足够短，就可以把它们近似看做线段，且梯度值在上面近似为常矢量。令第 $i$ 小段的起点和终点分别为 $r_{i 0}, r_{i 1}$ ，则第 $i$ 段的线积分可近似为

\begin{matrix} (19) & \int_{r_{i 0}}^{r_{i 1}} \nabla f (r) \cdot d r \approx \nabla f (r_{i}) \cdot Δ r_{i} . \end{matrix}

再利用全微分近似（式 6 ），上式等于

\begin{matrix} (20) & \int_{r_{i 0}}^{r_{i 1}} \nabla f (r) \cdot d r \approx f (r_{i 1}) - f (r_{i 0}) . \end{matrix}

将所有小段的线积分求和得到总的线积分得（注意

r_{i 1} = r_{(i + 1) 0}

）

\begin{matrix} (21) & \begin{aligned} \int_{C} \nabla f (r) \cdot d r & = \sum_{i = 1}^{n} \int_{r_{i 0}}^{r_{i 1}} \nabla f (r) \cdot d r \\ \approx \sum_{i = 1}^{n} [f (r_{i 1}) - f (r_{i 0})] = f (r_{f}) - f (r_{i}), \end{aligned} \end{matrix}

最后取极限

n \to \infty

，可使上式精确成立。证毕。

3. 梯度的逆运算

未完成：并不是所有矢量场都存在梯度的逆运算，链接

未完成：这部分内容可以新建文章，使用定理表述，类似于散度的逆运算。证明

A

是无旋场当且仅当它可以表示为

\nabla V

，

V (r)

可以加上任意常数

C

。

　　我们通常把上面的标量函数 $f (r)$ 叫做势函数，其地位相当于牛顿—莱布尼兹公式中的原函数。在这个类比中，既然 “对原函数求导” 对应 “对势函数求梯度”，那么不定积分对应的 “通过梯度函数求势函数” 又该如何实现呢？

　　以二维的情况为例，我们可以先指定势函数在某点 $r_{0} (x_{0}, y_{0})$ 的值，然后根据式 17 ，要求势函数任意一点 $r (x, y)$ 的值，只需从 $r_{0}$ 点出发由任意路径线积分到点 $r$ 即可得到势函数 $f (r)$ 。

\begin{matrix} (22) & f (r) = f (r_{0}) + \int_{r_{0}}^{r} \nabla f (r) \cdot d r . \end{matrix}

计算该线积分一般选取一种简单的路径：即先延从

r_{0} (x_{0}, y_{0})

到

r_{1} (x, y_{0})

的水平线段，再延从

r_{1} (x, y_{0})

到

r (x, y)

的竖直线段（当然也可以取中间点为

(x_{0}, y)

）。若把

\nabla f

的两个分量

\partial f / \partial x, \partial f / \partial y

简写为

f_{x} (x, y), f_{y} (x, y)

，分关于

x

和

y

的不定积分记为

F_{x} (x, y), F_{y} (x, y)

，延两个线段的线积分（分别把

x

和

y

作为线积分的参数）分别为

\begin{matrix} (23) & \int_{r_{0}}^{r_{1}} \nabla f (r) \cdot d r = \int_{x_{0}}^{x} f_{x} (x, y_{0}) d x + 0 = F_{x} (x, y_{0}) - F_{x} (x_{0}, y_{0}), \end{matrix}

\begin{matrix} (24) & \int_{r_{1}}^{r} \nabla f (r) \cdot d r = \int_{y_{0}}^{y} f_{y} (x, y) d y + 0 = F_{y} (x, y) - F_{y} (x, y_{0}) . \end{matrix}

代回式 22 得势函数为

\begin{matrix} (25) & \begin{aligned} f (x, y) & = f (x_{0}, y_{0}) + F_{x} (x, y_{0}) - F_{x} (x_{0}, y_{0}) + F_{y} (x, y) - F_{y} (x, y_{0}) \\ = F_{y} (x, y) - F_{y} (x, y_{0}) + F_{x} (x, y_{0}) + C . \end{aligned} \end{matrix}

其中

C

为待定常数。

1. ^ 这里假设 $f$ 在某区域内处处光滑，即所有一阶偏导数处处连续。这个性质也叫可微。