贡献者： addis
在方向导数中，我们推出方向导数为
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial n} = \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol\nabla f$ 就叫标量函数 $f$ 的梯度1。要注意当且仅当 Del 算符 $ \boldsymbol\nabla $ 作用在标量函数（即函数值是一个数而不是矢量）上时，可以称其为梯度算符。这里的 $f$ 叫做势函数。对于 $N$ 维直角坐标系中的 $N$ 元函数 $f(x_1,x_2\dots x_N)$，其梯度是一个矢量函数
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla f = \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i~.
\end{equation}
其中所有的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 组成直角坐标系的
正交归一基，现在来看
全微分关系
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{f} = \sum_{i = 1}^N \frac{\partial f}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} ~.
\end{equation}
在直角坐标系中，位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{i=1}^{N} \,\mathrm{d}{x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i~.
\end{equation}
可用势函数的梯度和 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的内积表示
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{f} = \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
由
内积的几何定义可知，从某点出发，若微位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的大小不变，那么当其方向与梯度方向相同时函数增量 $ \,\mathrm{d}{f} $ 最大；二者方向垂直时，函数增量为零；二者夹角为 $\theta$ 时，函数增量等于最大值乘以 $\cos \theta$。所以梯度矢量的方向是函数 $f$ 增加最快的方向，梯度的大小等于该方向的方向导数。注意
式 5 和
式 1 的关系可以类比
一元函数的导数和
微分的关系，当函数可微时，二者等效。所以也可以把
式 5 看成梯度的定义（需要对所有方向的 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 都成立）。
现在我们也可以把全微分近似（“ 全微分” 式 6 ）记为矢量的形式
\begin{equation}
\Delta f \approx \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
1. 极坐标，柱坐标和球坐标中的梯度算符
我们先写出极坐标中函数 $f(r,\theta)$ 的全微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac{\partial f}{\partial \theta} \,\mathrm{d}{\theta} ~,
\end{equation}
再写出极坐标中的微位移为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~.
\end{equation}
所以为了满足梯度的定义
式 5 ，我们可以把
式 7 写为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac1r \frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
对比
式 5 ，
式 8 和
式 9 可以得出
极坐标中的梯度算符为
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \frac{\partial}{\partial{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac1r \frac{\partial}{\partial{\theta}} ~.
\end{equation}
同理，柱坐标中的微位移（式 11 ）与函数 $f(r,\theta, z)$ 的全微分可以分别表示为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \,\mathrm{d}{z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac1r \frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{\partial f}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} ~,
\end{equation}
所以
柱坐标中的梯度算符为
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \frac{\partial}{\partial{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac1r \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} ~.
\end{equation}
球坐标也类似，球坐标中的微位移（式 5 ）与 $f(r,\theta,\phi)$ 的全微分可以分别表示为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac1r \frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{1}{ r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} ~.
\end{equation}
所以
球坐标中的梯度算符为
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \frac{\partial}{\partial{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac1r \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \frac{1}{ r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\phi}} ~.
\end{equation}
2. 梯度定理
梯度定理：一个标量函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的梯度延任何路径从起点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 到终点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f$（角标 $i$ 表示 initial，$f$ 表示 final） 线积分的结果等于该函数在末位置的函数值减去初位置的函数值。可以用下式表示
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _f) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)~.
\end{equation}
梯度定理可以看做是
牛顿—莱布尼兹公式
\begin{equation}
\int_a^b f'(x) \,\mathrm{d}{x} = f(b) - f(a)~
\end{equation}
的拓展，即把一元函数拓展为多元函数，把导函数拓展为梯度函数（在一维情况下，
式 17 变为
式 18 ）。所以前者的证明也可以类比后者的证明。
梯度定理的证明
我们先把式 17 路径分为许多首尾相接的小段曲线，则整段曲线的线积分等于所有小曲线的线积分之和。假设曲线处处光滑，如果每段小曲线都足够短，就可以把它们近似看做线段，且梯度值在上面近似为常矢量。令第 $i$ 小段的起点和终点分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}, \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}$，则第 $i$ 段的线积分可近似为
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \approx \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i~.
\end{equation}
再利用全微分近似（
式 6 ），上式等于
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \approx f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0})~.
\end{equation}
将所有小段的线积分求和得到总的线积分得（注意 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{(i+1)0}$）
\begin{equation} \begin{aligned}
\int_{C} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }
&= \sum_{i=1}^n \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\
&\approx \sum_{i=1}^n [f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0})]
= f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _f) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)~,
\end{aligned} \end{equation}
最后取极限 $n\to \infty$，可使上式精确成立。证毕。
3. 梯度的逆运算
未完成：并不是所有矢量场都存在梯度的逆运算，链接
未完成：这部分内容可以新建文章，使用定理表述，类似于
散度的逆运算。证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是无旋场当且仅当它可以表示为 $ \boldsymbol\nabla V$，$V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以加上任意常数 $C$。
我们通常把上面的标量函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 叫做势函数，其地位相当于牛顿—莱布尼兹公式中的原函数。在这个类比中，既然 “对原函数求导” 对应 “对势函数求梯度”，那么不定积分对应的 “通过梯度函数求势函数” 又该如何实现呢？
以二维的情况为例，我们可以先指定势函数在某点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 (x_0,y_0)$ 的值，然后根据式 17 ，要求势函数任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (x,y)$ 的值，只需从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 点出发由任意路径线积分到点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 即可得到势函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
计算该线积分一般选取一种简单的路径：即先延从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(x_0,y_0)$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1(x, y_0)$ 的水平线段，再延从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1(x, y_0)$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (x,y)$ 的竖直线段（当然也可以取中间点为 $(x_0,y)$）。若把 $ \boldsymbol\nabla f$ 的两个分量 $ \partial f/\partial x , \partial f/\partial y $ 简写为 $f_x(x,y), f_y(x,y)$，分关于 $x$ 和 $y$ 的不定积分记为 $F_x(x,y), F_y(x,y)$，延两个线段的
线积分（分别把 $x$ 和 $y$ 作为线积分的参数）分别为
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \int_{x_0}^{x} f_x(x,y_0) \,\mathrm{d}{x} + 0 = F_x(x,y_0) - F_x(x_0,y_0)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \int_{y_0}^{y} f_y(x,y) \,\mathrm{d}{y} + 0 = F_y(x,y) - F_y(x,y_0)~.
\end{equation}
代回
式 22 得势函数为
\begin{equation} \begin{aligned}
f(x,y) &= f(x_0,y_0) + F_x(x,y_0) - F_x(x_0,y_0) + F_y(x,y) - F_y(x,y_0) \\
&= F_y(x,y) - F_y(x,y_0) + F_x(x,y_0) + C~.
\end{aligned} \end{equation}
其中 $C$ 为待定常数。
1. ^ 这里假设 $f$ 在某区域内处处光滑，即所有一阶偏导数处处连续。这个性质也叫可微。