一元函数的微分、微分近似（极简微积分）

例 1　测量误差

　　 若测得立方体的边长为 $a$，测量边长的最大可能误差为 ${\sigma }_a$，假设 ${\sigma }_a\ll a$，估计立方体体积的最大误差 ${\sigma }_V$。

　　 解：立方体的体积与边长的关系为 $V(a)=a^3$，根据微分近似，有

例 2　细圆环的面积和薄球壳的体积

　　 1. 圆的面积关于其半径的函数为 $A(r)=\pi r^2$，对该式进行微分得 $\mathrm{d}A=2\pi r\mathrm{d}r$。注意到 $2\pi r$ 为 $r$ 对应的周长，所以微分近似告诉我们，半径为 $r$，宽度为 $\mathrm{\Delta }r\ll r$ 的圆环的面积约等于该圆环的周长乘以圆环的宽度。

　　 2. 球的体积关于其半径的函数为 $V(r)=4\pi r^3/3$，求微分得 $\mathrm{d}V=4\pi r^2\mathrm{d}r$。注意到 $4\pi r^2$ 为 $r$ 对应的球表面积，所以微分近似告诉我们，半径为 $r$，厚度为 $\mathrm{\Delta }r\ll r$ 的球壳的体积等于该球壳的表面积乘以球壳厚度。

　　 注意这两个近似成立的前提都是在 $\mathrm{\Delta }r$ 的范围内，$A^{\prime }(r)$ 或 $V^{\prime }(r)$ 变化得足够慢。也就是需要满足

例 3　失败的例子

　　 作为一个失败的例子，我们对 $y=x^2$ 以及 $x=0$ 使用式 4 。由于 $f^{\prime }(x)=2x$，有 $f^{\prime }(0)=0$，也就是说无论 $\mathrm{\Delta }x$ 多小都会估计出 $\mathrm{\Delta }y=0$。

　　 但若 $\mathrm{\Delta }x=x-0$，则精确来说 $\mathrm{\Delta }y=x^2-0^2=\mathrm{\Delta }{x}^2$。所以该近似的相对误差达到了 $-100\mathrm{\%}$。

　　 为什么会失败呢？还记得我们上文说过，该近似要求斜率在 $\mathrm{\Delta }x$ 范围内变化很小。但该例中 $x=0$ 处的斜率为 0，而 $x=\mathrm{\Delta }x$ 处斜率为 $2\mathrm{\Delta }x$，导致后者的斜率的相对增长是无穷大。这也是为什么上例中我们要求式 6 （试想如果 $\mathrm{\Delta }r$ 的区间取 $[0,\mathrm{\Delta }r]$ 会发生什么）。