贡献者： 叶月2_; addis
若有坐标系变换
\begin{equation}
\begin{cases}
x = x(u,v,w)\\ y = y(u,v,w)\\ z = z(u,v,w)
\end{cases}~.
\end{equation}
根据全微分关系
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x} \\ \,\mathrm{d}{y} \\ \,\mathrm{d}{z} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w \\
\partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w \\
\partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \\ \,\mathrm{d}{v} \\ \,\mathrm{d}{w} \end{pmatrix} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 叫做雅可比矩阵，又可写为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$。称其行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 为
雅可比行列式（Jacobian determinant），或表示为 $|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|$。在微分几何中，雅可比矩阵是切映射的表示。
雅可比行列式与体积元
由外代数的知识可知，设 $V$ 为 $n$ 维线性空间且 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2,... \boldsymbol{\mathbf{v}} _n\in V$，若 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1\wedge \boldsymbol{\mathbf{v}} _2\wedge...\wedge \boldsymbol{\mathbf{v}} _n\neq 0$（即该向量组线性无关），则其模为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{i=1}$ 张成的 $n$ 维立方体的体积。若 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{i=1}$ 是正交向量组，则其模为各向量模长的乘积。
雅可比行列式是体积元进行线性变换后的比例系数，以二维欧几里得线性空间为例。令 $f:(x,y)\rightarrow (r, \phi)$，
\begin{equation}
\begin{aligned}
x=&r \operatorname {cos}\phi\\
y=&r \operatorname {sin}\phi~.
\end{aligned}
\end{equation}
则我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
dx\wedge dy&= (dr \operatorname {cos}\phi-r \operatorname {sin}\phi d\phi )\wedge(dr \operatorname {sin}\phi+r \operatorname {cos}\phi d\phi )\\
&=(r \operatorname {cos}^2\phi +r \operatorname {sin}^2\phi)dr\wedge d\phi=rdr\wedge d\phi=| \boldsymbol{\mathbf{J}} |dr\wedge d\phi~.
\end{aligned}
\end{equation}
可以验证，若 $\{x_i\}^n_{i=1}$ 和 $\{y_i\}^n_{i=1}$ 都是 $n$ 维线性空间中线性无关的坐标变量，则我们总可以进行类似式 3 的变量代换。微积分中的多重积分实际上是对变量的外积进行积分，因此常利用该结论进行坐标系的变换。
定理 1
设 $U$ 为 $\mathbb R^n$（$n>2$）上的开集，对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =(x_1,x_2...x_n)\in U$，映射 $f:y_i=( \boldsymbol{\mathbf{x}} ),i=1,2...n$ 将 $U$ 上的点一一映射到 $V\subset \mathbb R^n$。设 $\Omega$ 是 $U$ 上具有分片光滑边界的有界闭区域，$T(\Omega)$ 上的点 $y_i$ 都有连续偏导数且这个映射的雅可比行列式不为 $0$。如果 $f(y_1,y_2...y_n)$ 是 $T(\Omega)$ 上的连续函数，那么变量代换公式
\begin{equation}
\int_{T(\Omega)} f\left(y_1, \cdots, y_n\right) \mathrm{d} y_1 \cdots \mathrm{d} y_n=\int_{\Omega} f\left(y_1(\boldsymbol{x}), \cdots, y_n(\boldsymbol{x})\right)\left|\frac{\partial\left(y_1, \cdots, y_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right| \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_n~.
\end{equation}
成立。