方向导数

贡献者：待更新

预备知识　全微分，正交归一基

　　先来看一幅等高线图（图 1 ）。令高度 $z$ 为位置的函数 $z = f (r)$ 。这里 $r$ 是二维平面上的位矢，即 $f (r) = f (x, y)$ 。当位矢沿着等高线移动时， $z$ 不变，而当位矢沿垂直于等高线的方向移动时， $z$ 变化得最快。位置沿其他方向运动， $z$ 的变化速度介于两者之间。

图 1：等高线

　　那么如何衡量位置向各个方向移动时 $z$ 变化的快慢呢？我们先规定一个方向 $\hat{n} = (n_{x}, n_{y})$ （平面单位矢量，满足 $n_{x}^{2} + n_{y}^{2} = 1$ ），然后用方向导数来衡量变化率，其定义如下

\begin{matrix} (1) & \frac{d f}{d n} \equiv lim_{Δ s \to 0} \frac{f (r + \hat{n} Δ s) - f (r)}{Δ s} = \frac{d f}{d s}, \end{matrix}

其中

\hat{n} Δ s

代表沿

\hat{n}

方向的微小位移。从几何上来讲，二维函数

f (r)

表示一个曲面，曲面上某点的方向导数就是曲面在该方向的斜率。

　　由 “全微分” 中的结论

\begin{matrix} (2) & d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y . \end{matrix}

而现在我们往

\hat{n} = (n_{x}, n_{y})

方向移动

d s

，所以

\begin{matrix} (3) & d x = n_{x} d s, d y = n_{y} d s . \end{matrix}

代入上式，得

\begin{matrix} (4) & d f = (\frac{\partial f}{\partial x} n_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} n_{y}) d s . \end{matrix}

根据导数与微分的关系（也可以通俗地说 “两边同除

d s

”），就得到方向导数

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial f}{\partial n} = \frac{d f}{d s} = \frac{\partial f}{\partial x} n_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} n_{y} . \end{matrix}

如果使用平面的正交归一基

\hat{x}, \hat{y}

写成矢量内积的形式，就是

\begin{matrix} (6) & \frac{d f}{d n} = (\frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y}) \cdot \hat{n} . \end{matrix}

定义二维直角坐标系中的 Del 算符为

\begin{matrix} (7) & \nabla = \hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} . \end{matrix}

其作用在函数上表示

\begin{matrix} (8) & \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y} . \end{matrix}

则方向导数可以写成相当简洁的形式，即

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f \cdot \hat{n} . \end{matrix}

1. 多元函数的方向导数

　　通过和以上类似的分析，可以得出 $N$ 元函数 $f (r) = f (x_{1}, x_{2} \dots x_{N})$ 在单位方向矢量 $\hat{n} = (n_{x 1}, n_{x 2} \dots n_{x_{N}})$ 的方向上的微分关系为

\begin{matrix} (10) & d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2} \dots = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} n_{x 1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} n_{x 2} \dots) d s . \end{matrix}

方向导数为

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial f}{\partial n} = \frac{d f}{d s} = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} {\hat{x}}_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} {\hat{x}}_{2} \dots \frac{\partial f}{\partial x_{N}} {\hat{x}}_{N}) \cdot \hat{n} = \nabla f \cdot \hat{n} . \end{matrix}

形式与式 9 相同。这里定义了 $N$ 维直角坐标系的 Del 算符 为

\begin{matrix} (12) & \nabla = {\hat{x}}_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + {\hat{x}}_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}} \dots {\hat{x}}_{n} \frac{\partial}{\partial x_{N}} . \end{matrix}