贡献者： addis; Giacomo
1在向量空间中，我们可以另外定义任意两个向量的内积（inner product）运算，运算的结果是一个实数或复数。内积运算不是向量空间所必须的，但物理中的向量空间几乎都定义了内积运算。我们把定义了内积运算的空间称为内积空间（inner product space），完备的内积空间也叫希尔伯特空间（Hilbert space）}。本文中我们使用狄拉克符号。
定义 1
对域 $\mathbb F$ 上的向量空间，定义内积为满足以下条件的二元运算 $ \left\langle \cdot \middle| \cdot \right\rangle : V\times V\to \mathbb F$。令向量 $u, v\in V$ 以及标量 $a, b \in \mathbb F$
- 正定
\begin{equation}
\left\langle v \middle| v \right\rangle > 0 \quad (v \ne 0)~.
\end{equation}
- 线性
\begin{equation}
\left\langle w \middle| a u + b v \right\rangle = a \left\langle w \middle| u \right\rangle + b \left\langle w \middle| v \right\rangle ~.
\end{equation}
- 交换律
\begin{equation}
\left\langle u \middle| v \right\rangle = \left\langle v \middle| u \right\rangle ^*~.
\end{equation}
说明：
- 定义中我们使用了狄拉克符号，也有地方将内积记为 $ \left\langle u, v \right\rangle $。
- 向量空间依赖于一个域 $\mathbb F$ 通常取实数或复数域。对于实数（复数）域的向量空间，内积的结果必须是实数（复数）。对实数的情况，定义中的共轭（*）可以略去。
- 由式 3 得无论 $\mathbb F$ 是什么，一个向量和自身的内积必须是实数（复共轭等于自身的数都是实数）。又根据式 1 ，该实数大于零。
- 令式 2 中 $a,b= 0$ 可得零向量和任何向量的内积为零。如果两个向量内积为零，我们就说他们是正交（orthogonal）的，这意味着零向量和任何向量正交。
- 根据式 2 ，零向量和任何向量的内积都必定是 0。结合式 3 和式 2 ，可以得到 $ \left\langle a u + b v \middle| w \right\rangle = a^* \left\langle w \middle| u \right\rangle + b^* \left\langle w \middle| v \right\rangle $。
- 结合式 2 和式 3 可得 $ \left\langle \sum_i a_i u_i \middle| \sum_j b_j v_j \right\rangle = \sum_{i,j} a_i^* b_j \left\langle u_i \middle| v_j \right\rangle $。
内积一个重要性质就是满足柯西不等式
\begin{equation}
\left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle u \middle| u \right\rangle \cdot \left\langle v \middle| v \right\rangle ~.
\end{equation}
即两个向量内积绝对值的平方小于它们分别和自身内积再相乘。由柯西不等式可以证明内积空间必然可以定义范数
（证明见下文）
\begin{equation}
\left\lVert v \right\rVert = \sqrt{ \left\langle v \middle| v \right\rangle }~,
\end{equation}
所以内积空间属于
赋范空间。
1. 内积的坐标表示
$N$ 维内积空间中，必存在 $N$ 个正交归一基底，任意向量 $v$ 可以在这组基底上找到对应的坐标 $(v_1, \dots, v_N)$，那么任意两个向量 $u, v$ 的内积可以用坐标表示为
\begin{equation}
\left\langle u \middle| v \right\rangle = \sum_i u_i^* v_i~.
\end{equation}
但若基底不是正交的，令基底为 $\beta_1, \dots, \beta_N$，那么根据内积的线性容易证明两个向量的内积为
\begin{equation}
\left\langle u \middle| v \right\rangle = \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i,j} M_{i,j} u_i^* v_j~,
\end{equation}
其中矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的矩阵元为 $M_{i,j} = \left\langle \beta_i \middle| \beta_j \right\rangle $。当 $ \left\langle \beta_i \middle| \beta_j \right\rangle = \delta_{i,j}$ 时，$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变为单位矩阵，就回到了
式 6 。可见
式 7 才是最一般坐标内积公式。
2. 勾股定理
内积空间的勾股定理（Pythagorean theorem）：对任意两个正交的向量，有
\begin{equation}
\left\langle u + v \middle| u + v \right\rangle = \left\langle u \middle| u \right\rangle + \left\langle v \middle| v \right\rangle ~.
\end{equation}
证明：
\begin{equation}
\left\langle u + v \middle| u + v \right\rangle = \left\langle u \middle| u \right\rangle + \left\langle v \middle| v \right\rangle + \left\langle u \middle| v \right\rangle + \left\langle v \middle| u \right\rangle ~.
\end{equation}
根据正交的定义，$ \left\langle u \middle| v \right\rangle = 0$。证毕。
3. 证明内积必定是范数
要证 $ \left\langle x \middle| x \right\rangle $ 满足范数的要求，最关键是证明性质
\begin{equation}
\left\lVert x+y \right\rVert ^2 \leqslant ( \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert )^2 = \left\lVert x \right\rVert ^2 + \left\lVert y \right\rVert ^2 + 2 \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert ~.
\end{equation}
即证
\begin{equation}
\left\langle x+y \middle| x+y \right\rangle - \left\langle x \middle| x \right\rangle - \left\langle y \middle| y \right\rangle \leqslant 2 \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert ~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\left\langle x+y \middle| x+y \right\rangle = \left\langle x \middle| x \right\rangle + \left\langle y \middle| y \right\rangle + 2 \operatorname{Re} [{ \left\langle x \middle| y \right\rangle }]~,
\end{equation}
代入，即证
\begin{equation}
\operatorname{Re} [{ \left\langle x \middle| y \right\rangle }]^2 \leqslant \left\lVert x \right\rVert ^2 \left\lVert y \right\rVert ^2 = \left\langle x \middle| x \right\rangle \left\langle y \middle| y \right\rangle ~.
\end{equation}
由柯西不等式
\begin{equation}
\operatorname{Re} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 + \operatorname{Im} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 = \left\lvert \left\langle x \middle| y \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle x \middle| x \right\rangle \left\langle y \middle| y \right\rangle ~,
\end{equation}
而 $ \operatorname{Im} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 > 0$。证毕。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。