内积、内积空间

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　几何向量的内积，范数、赋范空间

　　¹在向量空间中，我们可以另外定义任意两个向量的内积（inner product）运算，运算的结果是一个实数或复数。内积运算不是向量空间所必须的，但物理中的向量空间几乎都定义了内积运算。我们把定义了内积运算的空间称为内积空间（inner product space），完备的内积空间也叫希尔伯特空间（Hilbert space）}。本文中我们使用狄拉克符号。

定义 1　

　　对域 $F$ 上的向量空间，定义内积为满足以下条件的二元运算 $⟨ \cdot | \cdot ⟩ : V \times V \to F$ 。令向量 $u, v \in V$ 以及标量 $a, b \in F$

正定
$\begin{matrix} (1) & ⟨ v | v ⟩ > 0 (v \neq 0) . \end{matrix}$
线性
$\begin{matrix} (2) & ⟨ w | a u + b v ⟩ = a ⟨ w | u ⟩ + b ⟨ w | v ⟩ . \end{matrix}$
交换律
$\begin{matrix} (3) & ⟨ u | v ⟩ = {⟨ v | u ⟩}^{*} . \end{matrix}$

　　说明：

定义中我们使用了狄拉克符号，也有地方将内积记为 $⟨ u, v ⟩$ 。
向量空间依赖于一个域 $F$ 通常取实数或复数域。对于实数（复数）域的向量空间，内积的结果必须是实数（复数）。对实数的情况，定义中的共轭（*）可以略去。
由式 3 得无论 $F$ 是什么，一个向量和自身的内积必须是实数（复共轭等于自身的数都是实数）。又根据式 1 ，该实数大于零。
令式 2 中 $a, b = 0$ 可得零向量和任何向量的内积为零。如果两个向量内积为零，我们就说他们是正交（orthogonal）的，这意味着零向量和任何向量正交。
根据式 2 ，零向量和任何向量的内积都必定是 0。结合式 3 和式 2 ，可以得到 $⟨ a u + b v | w ⟩ = a^{*} ⟨ w | u ⟩ + b^{*} ⟨ w | v ⟩$ 。
结合式 2 和式 3 可得 $⟨ \sum_{i} a_{i} u_{i} | \sum_{j} b_{j} v_{j} ⟩ = \sum_{i, j} a_{i}^{*} b_{j} ⟨ u_{i} | v_{j} ⟩$ 。

　　内积一个重要性质就是满足柯西不等式

\begin{matrix} (4) & {| ⟨ u | v ⟩ |}^{2} ⩽ ⟨ u | u ⟩ \cdot ⟨ v | v ⟩ . \end{matrix}

即两个向量内积绝对值的平方小于它们分别和自身内积再相乘。由柯西不等式可以证明内积空间必然可以定义范数（证明见下文）

\begin{matrix} (5) & ‖ v ‖ = \sqrt{⟨ v | v ⟩}, \end{matrix}

所以内积空间属于赋范空间。

1. 内积的坐标表示

　　 $N$ 维内积空间中，必存在 $N$ 个正交归一基底，任意向量 $v$ 可以在这组基底上找到对应的坐标 $(v_{1}, \dots, v_{N})$ ，那么任意两个向量 $u, v$ 的内积可以用坐标表示为

\begin{matrix} (6) & ⟨ u | v ⟩ = \sum_{i} u_{i}^{*} v_{i} . \end{matrix}

但若基底不是正交的，令基底为

β_{1}, \dots, β_{N}

，那么根据内积的线性容易证明两个向量的内积为

\begin{matrix} (7) & ⟨ u | v ⟩ = u^{†} M v = \sum_{i, j} M_{i, j} u_{i}^{*} v_{j}, \end{matrix}

其中矩阵

M

的矩阵元为

M_{i, j} = ⟨ β_{i} | β_{j} ⟩

。当

⟨ β_{i} | β_{j} ⟩ = δ_{i, j}

时，

M

变为单位矩阵，就回到了式 6 。可见式 7 才是最一般坐标内积公式。

2. 勾股定理

　　内积空间的勾股定理（Pythagorean theorem）：对任意两个正交的向量，有

\begin{matrix} (8) & ⟨ u + v | u + v ⟩ = ⟨ u | u ⟩ + ⟨ v | v ⟩ . \end{matrix}

证明：

\begin{matrix} (9) & ⟨ u + v | u + v ⟩ = ⟨ u | u ⟩ + ⟨ v | v ⟩ + ⟨ u | v ⟩ + ⟨ v | u ⟩ . \end{matrix}

根据正交的定义，

⟨ u | v ⟩ = 0

。证毕。

3. 证明内积必定是范数

　　要证 $⟨ x | x ⟩$ 满足范数的要求，最关键是证明性质

\begin{matrix} (10) & {‖ x + y ‖}^{2} ⩽ (‖ x ‖ + ‖ y ‖)^{2} = {‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2} + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ . \end{matrix}

即证

\begin{matrix} (11) & ⟨ x + y | x + y ⟩ - ⟨ x | x ⟩ - ⟨ y | y ⟩ ⩽ 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (12) & ⟨ x + y | x + y ⟩ = ⟨ x | x ⟩ + ⟨ y | y ⟩ + 2 Re [⟨ x | y ⟩], \end{matrix}

代入，即证

\begin{matrix} (13) & Re [⟨ x | y ⟩]^{2} ⩽ {‖ x ‖}^{2} {‖ y ‖}^{2} = ⟨ x | x ⟩ ⟨ y | y ⟩ . \end{matrix}

由柯西不等式

\begin{matrix} (14) & Re [⟨ x | y ⟩]^{2} + Im [⟨ x | y ⟩]^{2} = {| ⟨ x | y ⟩ |}^{2} ⩽ ⟨ x | x ⟩ ⟨ y | y ⟩, \end{matrix}

而

Im [⟨ x | y ⟩]^{2} > 0

。证毕。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。