多元狄拉克 delta 函数

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　狄拉克 delta 函数，正交曲线坐标系

　　在三维直角坐标系中，

\begin{matrix} (1) & δ (r) = δ (x) δ (y) δ (z) . \end{matrix}

这样就有

\begin{matrix} (2) & \int δ (r) d V = 1 . \end{matrix}

1. 其他坐标系

　　若要把 $δ (r - r_{0})$ 转换到其他正交曲线坐标系中，直接使用

\begin{matrix} (3) & δ (r - r_{0}) = \frac{1}{| r_{u} (u_{0}) r_{v} (v_{0}) r_{w} (w_{0}) |} δ (u - u_{0}) δ (v - v_{0}) δ (w - w_{0}), \end{matrix}

其中

r_{u} (u_{0}) r_{v} (v_{0}) r_{w} (w_{0})

分别是

r

在

u_{0}, v_{0}, w_{0}

对

u, v, w

的偏导数。

　　例如球坐标系中

\begin{matrix} (4) & r_{r} = 1, r_{θ} = r, r_{ϕ} = r \sin θ . \end{matrix}

有

\begin{matrix} (5) & δ (r - r_{0}) = \frac{1}{r_{0}^{2} | \sin θ_{0} |} δ (r - r_{0}) δ (θ - θ_{0}) δ (ϕ - ϕ_{0}) (r_{0}, θ_{0} \neq 0) . \end{matrix}

但当

r_{0}

或

θ_{0}

为零时怎么办呢？用

δ^{2}

来表示！但如何证明？

未完成：……

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