高斯分布（正态分布）
贡献者： addis
图 1：正态分布图，来自 Wikipedia
1高斯分布也叫正态分布，概率密度函数为
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\ \sigma} \exp \left[-\frac{(x - \mu )^2}{2\sigma ^2} \right] ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = 1~.
\end{equation}
正态分布中，$x$ 落在区间 $[\mu-a,\mu+a]$ 内的概率可以用误差函数 $ \operatorname{erf} $ 表示：
\begin{equation}
P\{ \left\lvert x-\mu \right\rvert \leqslant a\} = \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}{x} = \operatorname{erf} \left(\frac{a}{\sqrt{2}\ \sigma} \right) ~.
\end{equation}
1. 特殊值
高斯分布的半峰全宽（FWHM）为
\begin{equation}
\text{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2}\ \sigma \approx 2.3548\ \sigma~.
\end{equation}
另外当 $ \left\lvert x - \mu \right\rvert = \sigma$ 处，函数值为峰值的 $ \exp\left(-1/2\right) \approx 0.6065$。
其他特殊函数值以及对应的概率如下
表1：高斯分布的特殊值和概率
| $x$ | $\sigma$ | $2\sigma$ | $3\sigma$ | $4\sigma$ | $5\sigma$ | $6\sigma$ | $7\sigma$ | $8\sigma$ |
| $f(x)/f_\text{max}$ | 0.6065 | 0.1353 | 1.111e-2 | 3.355e-4 | 3.727e-6 | 1.523e-8 | 2.2897e-11 | 1.2664e-14 |
| $1-\int_{-x}^x f(t) \,\mathrm{d}{t} $ | 0.3173 | 4.550e-2 | 2.700e-3 | 6.334e-5 | 5.733e-7 | 1.973e-9 | 2.56e-12 | 1.24e-15 |
2. 推导
若已知高斯分布具有如下形式
\begin{equation}
f(x) = A\exp \left[-a (x - x_0)^2 \right] ~,
\end{equation}
现在我们补充两个积分，由换元积分法（$x=\sqrt{t}$）以及 $\Gamma$ 函数 的性质得
\begin{equation}
\int_{-\infty }^{+\infty } \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{-1/2} \mathrm{e} ^{ - t} \,\mathrm{d}{t} = \left(-\frac12 \right) ! = \sqrt \pi ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{1/2} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 ! = \frac12 \left(-\frac12 \right) ! = \frac{\sqrt\pi}{2}~.
\end{equation}
\begin{equation}
1 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = A\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left[-a (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = A\sqrt{\frac{\pi}{a}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma ^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - x_0)^2 A\exp \left[-a (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2a}~.
\end{equation}