积分中值定理

贡献者：零穹

　　积分中值定理可以将积分号去掉，或者将复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化，其应用相当的广泛。

1. 积分中值定理

　　如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，并且在该区间上恒有 $m < f (x) < M$ 则

\begin{matrix} (1) & \int_{a}^{b} f (x) d x = μ (b - a), \end{matrix}

其中

m \leq μ \leq M .

　　 证明： 设 $a < b$ ，则由定理 7 ，

\begin{matrix} (2) & m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a), \end{matrix}

故有

\begin{matrix} (3) & m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M . \end{matrix}

令

\begin{matrix} (4) & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = μ, \end{matrix}

即可得所需求等式。

　　对 $a > b$ ，

\begin{matrix} (5) & \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x = μ (b - a), \end{matrix}

而

a = b

时定理显然。

　　 证毕！

　　设 $f (x), g (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，并且在该区间上恒有 $m \leq f (x) \leq M$ , 且 $g (x)$ 不变号，则

\begin{matrix} (6) & \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = μ \int_{a}^{b} g (x) d x, \end{matrix}

其中

m \leq μ \leq M .

　　 证明： 设 $g (x) \geq 0$ ，且 $a < b$ ，则

\begin{matrix} (7) & m g (x) \leq f (x) g (x) \leq M g (x) . \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & m \int_{a}^{b} g (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x \leq M \int_{a}^{b} g (x) d x . \end{matrix}

由

g (x) \geq 0

，得

\begin{matrix} (9) & \int_{a}^{b} g (x) d x \geq 0 . \end{matrix}

式 8 同除于式 9 ，并令

\begin{matrix} (10) & μ = \frac{\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x}{\int_{a}^{b} g (x) d x}, \end{matrix}

就有式 6 和

\begin{matrix} (11) & m \leq μ \leq M . \end{matrix}

对于

g (x) \leq 0

，只需用

- g (x)

代替

g (x)

就能转到刚才的情形，同理

a > b

的情形容易由

a < b

得到，

a = b

则定理恒成立。

　　 证毕！

　　若定理 2 的 $f (x)$ 连续，则在 $[a, b]$ 上，必存在某一点 $c$ ，使得 $f (c) = μ$ （子节 3 ）。于是此时定理 2 的式 6 可写为

\begin{matrix} (12) & \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = f (c) \int_{a}^{b} g (x) d x, \end{matrix}

其中，

c \in [a, b] .