贡献者： 零穹
积分中值定理可以将积分号去掉，或者将复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化，其应用相当的广泛。
1. 积分中值定理
定理 1 积分中值定理
如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，并且在该区间上恒有 $m< f(x)< M$
则
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =\mu(b-a)~,
\end{equation}
其中 $m\leq\mu\leq M.$
证明：
设 $a< b$，则由定理 7 ，
\begin{equation}
m(b-a)\leq\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq M(b-a)~,
\end{equation}
故有
\begin{equation}
m\leq\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq M~.
\end{equation}
令
\begin{equation}
\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =\mu~,
\end{equation}
即可得所需求等式。
对 $a>b$，
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =-\int_b^a f(x) \,\mathrm{d}{x} =\mu(b-a)~,
\end{equation}
而 $a=b$ 时定理显然。
证毕！
定理 2 推广积分中值定理
设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，并且在该区间上恒有 $m\leq f(x)\leq M$
, 且 $g(x)$ 不变号，则
\begin{equation}
\int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} =\mu\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
其中 $m\leq\mu\leq M.$
证明：
设 $g(x)\geq 0$，且 $a< b$，则
\begin{equation}
mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)~.
\end{equation}
由
推论 1
\begin{equation}
m\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} \leq\int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} \leq M\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
由 $g(x)\geq0$，得
\begin{equation}
\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} \geq0~.
\end{equation}
同除于
式 9 ，并令
\begin{equation}
\mu=\frac{\int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} }{\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} }~,
\end{equation}
就有
式 6 和
\begin{equation}
m\leq\mu\leq M~.
\end{equation}
对于 $g(x)\leq0$，只需用 $-g(x)$ 代替 $g(x)$ 就能转到刚才的情形，同理 $a>b$ 的情形容易由 $a< b$ 得到，$a=b$ 则定理恒成立。
证毕！
例 1 连续函数中值定理
若定理 2 的 $f(x)$ 连续，则在 $[a,b]$ 上，必存在某一点 $c$，使得 $f(c)=\mu$（子节 3 ）。于是此时定理 2 的式 6 可写为
\begin{equation}
\int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} =f(c)\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
其中，$c\in[a,b].$