贡献者： addis
1. 定义
定义复数域的正弦函数为
\begin{equation}
\sin z = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} z}}{2 \mathrm{i} }~.
\end{equation}
定义复数域的余弦函数为
\begin{equation}
\cos z = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} z}}{2}~.
\end{equation}
为什么三角函数要这么定义？因为只有这么定义，才能既 “兼容” 实数范围内的三角函数，同时满足解析的要求，即以后会学习的
柯西—黎曼条件。
2. 与实数函数的 “兼容性”
“兼容性” 在这里指若将一个复变函数的自变量取实数，那么结果与使用同名的实数函数相同。例如将式 1 中的复数 $z$ 取实数 $x$，得
\begin{equation}
\sin x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} }~.
\end{equation}
根据
复数域指数函数的定义，在这里具体指欧拉公式，得
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x} = \cos x - \mathrm{i} \sin x~,
\end{equation}
代入得
\begin{equation}
\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} } = \frac{(\cos x + \mathrm{i} \sin x) - (\cos x - \mathrm{i} \sin x)}{2 \mathrm{i} } = \sin x~.
\end{equation}
同理可证
式 2 在实轴上成立。证毕。
3. 两角和公式
利用欧拉公式，容易证明，复数范围内的正余弦函数同样满足两角和公式
\begin{equation}
\sin\left(z_1 + z_2\right) = \sin {z_1}\cos {z_2} + \cos {z_1}\sin {z_2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\left(z_1 + z_2\right) = \cos {z_1}\cos {z_2} - \sin {z_1}\sin {z_2}~.
\end{equation}
4. 实部和虚部
利用两角和公式，令 $z_1$ 等于实数 $x$， $z_2$ 等于虚数 $ \mathrm{i} y$，则有
\begin{equation}
\sin z = \sin\left(x + \mathrm{i} y\right) = \sin x\cos \mathrm{i} y + \cos x\sin \mathrm{i} y~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos z = \cos\left(x + \mathrm{i} y\right) = \cos x\cos \mathrm{i} y - \sin x\sin \mathrm{i} y~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\cos\left( \mathrm{i} y\right) = \frac{ \mathrm{e} ^{-y} + \mathrm{e} ^y}{2} = \cosh y~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sin\left( \mathrm{i} y\right) = \frac{ \mathrm{e} ^{-y} - \mathrm{e} ^y}{2 \mathrm{i} } = \mathrm{i} \frac{ \mathrm{e} ^y - \mathrm{e} ^{-y}}{2} = \mathrm{i} \sinh y~.
\end{equation}
代入得
\begin{equation}
\sin z = \sin\left(x + \mathrm{i} y\right) = \sin x\cosh y + \mathrm{i} \cos x\sinh y~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos z = \cos\left(x + \mathrm{i} y\right) = \cos x\cosh y - \mathrm{i} \sin x\sinh y~.
\end{equation}
这样，就把正余弦的实部和虚部分开来了（当然也可以根据定义直接得到两式）。