定积分(极简微积分)

                     

贡献者: addis; ACertainUser; Giacomo

预备知识 导数

   首先以不均匀细绳的质量为例,引入定积分的思想。具体来说本文介绍的是黎曼积分(Riemann integral),在 “极简微积分” 系列中,所有的定积分都是指黎曼积分。适用范围更广的勒贝格积分不在该系列的范围。

例 1 不均匀细绳的质量

   一条密度不均匀的绳子长为 L,横截面积是 S,细绳距离 Oxx<L)处的密度为 ρ(x)。求绳子的质量。

图
图 1:密度不均匀的绳子

   如果题目中,密度是恒定的,那么直接可以写出绳子的质量为 m=LSρ。但是题中 ρ(x) 是关于 x 的函数,所以我们要寻找另外的做法。假设绳子的密度变化是连续且 “平滑” 的,我们可以通过把绳子分割成 n 小节(注意这些小节必须严格地首尾相接,不能有重合或者空隙)。第 i 节取 xixi+1,令其长度为 xi+1xi=Δxi 使每一个小节内,密度可以近似看成是恒定的,这样我们可以用 ρ(ξi)(xiξixi+1) 来代替第 i 节的密度,当每一节足够小时,可以认为 ξixiξixi+1 约束下的取值并不会影响结果。第 i 小节的质量为

(1)Δmi=ρ(ξi)ΔxiS .
所以总的质量用求和符号来表示,就是
(2)m=i=1nΔmii=1nρ(ξi)ΔxiS=Si=1nρ(ξi)Δxi .
由于当 n 取有限值时,上式并不精确成立,所以只能使用约等号,但是 n 越大,约等号两边就越精确成立。这是极限的思想,用极限符号来表,就是
(3)m=limni=1nΔmi=limni=1nρ(ξi)ΔxiS=Slimni=1nρ(ξi)Δxi .
这种表达式在物理中反复出现,所以使用积分符号 用于代替极限和求和符号。另外把 ξi 写成 x(当 n 趋近于无穷大时,参量 iΔxi 具体是多少就不重要了),把表示增量的 Δ 变为表示微分的 d,上式就写为
(4)m=dm=Sρ(x)dx=Sρ(x)dx .
下面先看看 ρ(x)dx,即 limni=1nρ(ξi)Δxi 的另一种理解。画出 ρ(x) 图像。例如 ρ(x)=x+1,则 ρ(ξi)Δxi 可以表示左图的第 i 个小长方形的面积,i=1nρ(ξi)Δxi 表示长方形面积之和。如果 n 非常大且每个 Δxi 取得非常小,左图看起来就会像右图。所以 ρ(x)dx 可以用来表示右图阴影部分的面积。

图
图 2:定积分可以理解为曲线下面的面积,并看做由无限多个无穷窄的矩形组成。当最大的矩形也足够小时,矩形的划分方式将不会影响面积的计算。

   但 ρ(x)dx 里面显然不包含 0L 的信息,我们根据题目中的情况,说这个积分是 “从 0 积到 L”,其中 0积分下限L积分上限。为了表示这个信息,把它写到积分号右边变为

(5)0Lρ(x)dx .
这就是定积分的标准形式,但有时候为了书写方便,在不混淆的情况下可以把积分上下限省略。

   这样的写法是很形象的,可以想象,积分号顺时针旋转 90 度后就是函数的曲线需要积分的部分,下标的位置代表积分的起点,上标代表终点。这样,很多问题就可以用积分表示了。

   更一般地,如果把积分的起点和终点记为实数 a,b,那么对于一元函数的定积分就可以写为如下形式:

(6)S=abf(x)dx .
要注意的是,当函数值为负数时,我们定义 “曲线下方的面积” 也取负数。此外,我们定义当 a>b,定义积分的结果是把 a,b 互换后的积分结果乘以 1,即
(7)abf(x)dx=baf(x)dx .

   至于计算积分的具体方法,比求导要复杂得多,甚至很多积分的结果不能用初等函数表示,只能表示为级数等形式。然而对于基本初等函数的积分,用牛顿-莱布尼兹公式即可马上求解。

例 2 圆的面积

   在直角坐标系中,圆的方程为 x2+y2=R2,上半圆的方程可看做 y 关于 x 的函数

(8)y=f(x)=R2x2(x[R,R]) .
将该式定积分再乘以 2 即可得到圆的面积
(9)S=2RRf(x)dx=2RRR2x2dx ,

   我们还可以用另一种方法验证圆的面积公式。把圆划分成许多微小圆环,由例 2 ,每个微小圆环的面积为 2πrdr,所以圆的面积可以用定积分表示为

(10)S=0R2πrdr .

   以上两个定积分的结果都为 πR2,过程见 “牛顿—莱布尼兹公式” 的例 2

例 3 球体的表面积

  

图
图 3:将球的表面划分成许多细圆环,每个对应的极角为 dθ

   以球心为原点建立球坐标系,我们可以把球体的表面根据不同的 θ 划分成许多细圆环(如图 3 ),每个圆环的面积等于周长乘以宽度,即

(11)dS=2πRsinθRdθ .
所以球的表面积可以用定积分记为
(12)S=0π2πRsinθRdθ=2πR20πsinθdθ .

   虽然我们还不会计算这个定积分(见 “牛顿—莱布尼兹公式”),但我们现在可以用一种巧妙的方法来简化问题。让我们来计算每个细圆环在极轴方向投影的长度。我们不妨把极轴叫做 z 轴,则对某个细圆环有 z=Rcosθ,微分得 dz=Rsinθdθ,将该式消去式 11 中的 dθ

(13)dS=2πRdz .
这说明无论细圆环的位置如何,其面积与其在 z 轴投影的长度的比值恒为 2π。至于上式中的负号,是因为我们假设了正的 dθ 对应正的面积,而正的 dθ 却对应负的 dz。由于面积恒为正值,我们可以取绝对值将负号去掉。这样,球的表面积就可以用定积分表示为
(14)S=RR2πRdz .
由于被积函数是一个常数,定积分的结果就是该常数乘以积分区间的长度即 4πR2

例 4 球的体积

   要计算一个半径为 R 的球体的体积,可以将球划分为无限个薄球壳,每个薄球壳的体积等于该球壳的表面积乘以厚度(见例 2 ),即 dV=4πr2dr。所以球的体积可用定积分表示为

(15)V=0R4πr2dr .
同样由 “牛顿—莱布尼兹公式” 可得积分结果为 4πR3/3

定积分的基本性质

   每一本高数教材 [1] [2] 都会列出一张长长的定积分性质的表格。这里只列举一些其中的一些。这些定理尽管看起来都非常显然,但在实际做题时往往会带给初学者不少困惑。


[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
[2] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir.Thomas' Cauculus 14ed

                     

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