定积分（极简微积分）

贡献者： addis; ACertainUser; Giacomo

预备知识　导数

　　首先以不均匀细绳的质量为例，引入定积分的思想。具体来说本文介绍的是黎曼积分（Riemann integral），在 “极简微积分” 系列中，所有的定积分都是指黎曼积分。适用范围更广的勒贝格积分不在该系列的范围。

例 1　不均匀细绳的质量

　　一条密度不均匀的绳子长为 $L$ ，横截面积是 $S$ ，细绳距离 $O$ 端 $x$ （ $x < L$ ）处的密度为 $ρ (x)$ 。求绳子的质量。

图 1：密度不均匀的绳子

　　如果题目中，密度是恒定的，那么直接可以写出绳子的质量为 $m = L S ρ$ 。但是题中 $ρ (x)$ 是关于 $x$ 的函数，所以我们要寻找另外的做法。假设绳子的密度变化是连续且 “平滑” 的，我们可以通过把绳子分割成 $n$ 小节（注意这些小节必须严格地首尾相接，不能有重合或者空隙）。第 $i$ 节取 $x_{i}$ 到 $x_{i + 1}$ ，令其长度为 $x_{i + 1} - x_{i} = Δ x_{i}$ 使每一个小节内，密度可以近似看成是恒定的，这样我们可以用 $ρ (ξ_{i}) (x_{i} ⩽ ξ_{i} ⩽ x_{i + 1})$ 来代替第 $i$ 节的密度，当每一节足够小时，可以认为 $ξ_{i}$ 在 $x_{i} ⩽ ξ_{i} ⩽ x_{i + 1}$ 约束下的取值并不会影响结果。第 $i$ 小节的质量为

\begin{matrix} (1) & Δ m_{i} = ρ (ξ_{i}) Δ x_{i} S . \end{matrix}

所以总的质量用求和符号来表示，就是

\begin{matrix} (2) & m = \sum_{i = 1}^{n} Δ m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ (ξ_{i}) Δ x_{i} S = S \sum_{i = 1}^{n} ρ (ξ_{i}) Δ x_{i} . \end{matrix}

由于当

n

取有限值时，上式并不精确成立，所以只能使用约等号，但是

n

越大，约等号两边就越精确成立。这是极限的思想，用极限符号来表，就是

\begin{matrix} (3) & m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ m_{i} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ (ξ_{i}) Δ x_{i} S = S lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ (ξ_{i}) Δ x_{i} . \end{matrix}

这种表达式在物理中反复出现，所以使用积分符号

\int

用于代替极限和求和符号。另外把

ξ_{i}

写成

x

（当

n

趋近于无穷大时，参量

i

和

Δ x_{i}

具体是多少就不重要了），把表示增量的

Δ

变为表示微分的

d

，上式就写为

\begin{matrix} (4) & m = \int d m = \int S ρ (x) d x = S \int ρ (x) d x . \end{matrix}

下面先看看

\int ρ (x) d x

，即

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ (ξ_{i}) Δ x_{i}

的另一种理解。画出

ρ (x)

图像。例如

ρ (x) = x + 1

，则

ρ (ξ_{i}) Δ x_{i}

可以表示左图的第

i

个小长方形的面积，

\sum_{i = 1}^{n} ρ (ξ_{i}) Δ x_{i}

表示长方形面积之和。如果

n

非常大且每个

Δ x_{i}

取得非常小，左图看起来就会像右图。所以

\int ρ (x) d x

可以用来表示右图阴影部分的面积。

图 2：定积分可以理解为曲线下面的面积，并看做由无限多个无穷窄的矩形组成。当最大的矩形也足够小时，矩形的划分方式将不会影响面积的计算。

　　但 $\int ρ (x) d x$ 里面显然不包含 $0$ 和 $L$ 的信息，我们根据题目中的情况，说这个积分是 “从 $0$ 积到 $L$ ”，其中 $0$ 是积分下限， $L$ 是积分上限。为了表示这个信息，把它写到积分号右边变为

\begin{matrix} (5) & \int_{0}^{L} ρ (x) d x . \end{matrix}

这就是定积分的标准形式，但有时候为了书写方便，在不混淆的情况下可以把积分上下限省略。

　　这样的写法是很形象的，可以想象，积分号顺时针旋转 90 度后就是函数的曲线需要积分的部分，下标的位置代表积分的起点，上标代表终点。这样，很多问题就可以用积分表示了。

　　更一般地，如果把积分的起点和终点记为实数 $a, b$ ，那么对于一元函数的定积分就可以写为如下形式：

\begin{matrix} (6) & S = \int_{a}^{b} f (x) d x . \end{matrix}

要注意的是，当函数值为负数时，我们定义 “曲线下方的面积” 也取负数。此外，我们定义当

a > b

，定义积分的结果是把

a, b

互换后的积分结果乘以

- 1

，即

\begin{matrix} (7) & \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x . \end{matrix}

　　至于计算积分的具体方法，比求导要复杂得多，甚至很多积分的结果不能用初等函数表示，只能表示为级数等形式。然而对于基本初等函数的积分，用牛顿－莱布尼兹公式即可马上求解。

例 2　圆的面积

　　在直角坐标系中，圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ ，上半圆的方程可看做 $y$ 关于 $x$ 的函数

\begin{matrix} (8) & y = f (x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}} (x \in [- R, R]) . \end{matrix}

将该式定积分再乘以 2 即可得到圆的面积

\begin{matrix} (9) & S = 2 \int_{- R}^{R} f (x) d x = 2 \int_{- R}^{R} \sqrt{R^{2} - x^{2}} d x, \end{matrix}

　　我们还可以用另一种方法验证圆的面积公式。把圆划分成许多微小圆环，由例 2 ，每个微小圆环的面积为 $2 π r d r$ ，所以圆的面积可以用定积分表示为

\begin{matrix} (10) & S = \int_{0}^{R} 2 π r d r . \end{matrix}

　　以上两个定积分的结果都为 $π R^{2}$ ，过程见 “牛顿—莱布尼兹公式” 的例 2 。

例 3　球体的表面积

图 3：将球的表面划分成许多细圆环，每个对应的极角为

d θ

　　以球心为原点建立球坐标系，我们可以把球体的表面根据不同的 $θ$ 划分成许多细圆环（如图 3 ），每个圆环的面积等于周长乘以宽度，即

\begin{matrix} (11) & d S = 2 π R \sin θ \cdot R d θ . \end{matrix}

所以球的表面积可以用定积分记为

\begin{matrix} (12) & S = \int_{0}^{π} 2 π R \sin θ \cdot R d θ = 2 π R^{2} \int_{0}^{π} \sin θ d θ . \end{matrix}

　　虽然我们还不会计算这个定积分（见 “牛顿—莱布尼兹公式”），但我们现在可以用一种巧妙的方法来简化问题。让我们来计算每个细圆环在极轴方向投影的长度。我们不妨把极轴叫做 $z$ 轴，则对某个细圆环有 $z = R \cos θ$ ，微分得 $d z = - R \sin θ d θ$ ，将该式消去式 11 中的 $d θ$ 得

\begin{matrix} (13) & d S = - 2 π R d z . \end{matrix}

这说明无论细圆环的位置如何，其面积与其在

z

轴投影的长度的比值恒为

2 π

。至于上式中的负号，是因为我们假设了正的

d θ

对应正的面积，而正的

d θ

却对应负的

d z

。由于面积恒为正值，我们可以取绝对值将负号去掉。这样，球的表面积就可以用定积分表示为

\begin{matrix} (14) & S = \int_{- R}^{R} 2 π R d z . \end{matrix}

由于被积函数是一个常数，定积分的结果就是该常数乘以积分区间的长度即

4 π R^{2}

。

例 4　球的体积

　　要计算一个半径为 $R$ 的球体的体积，可以将球划分为无限个薄球壳，每个薄球壳的体积等于该球壳的表面积乘以厚度（见例 2 ），即 $d V = 4 π r^{2} d r$ 。所以球的体积可用定积分表示为

\begin{matrix} (15) & V = \int_{0}^{R} 4 π r^{2} d r . \end{matrix}

同样由 “牛顿—莱布尼兹公式” 可得积分结果为

4 π R^{3} / 3

。

定积分的基本性质

　　每一本高数教材 [1] [2] 都会列出一张长长的定积分性质的表格。这里只列举一些其中的一些。这些定理尽管看起来都非常显然，但在实际做题时往往会带给初学者不少困惑。

仅仅改变积分变量的名称不影响积分的结果。 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t .$
被积函数可加性。注意乘法可没有这么好的性质，不然我们也不需要大费周章地引入各种方法计算积分了！ $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x .$
积分区间可加性 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .$

图 4：积分区间可加性
翻转积分上下限会引入额外的负号 $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x .$
积分不等式。m 指区间上 f 的最小值，M 指最大值。 $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a) .$
积分中值定理 $\exists ξ \in [a, b], \int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) .$ 。或者说， $f (ξ)$ 就是该区间上定积分的 “平均值”。 $\overset{―}{f} = f (ξ) = \frac{\int_{a}^{b} f (x) d x}{b - a} .$

[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
[2] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed

定积分（极简微积分）

例 1 不均匀细绳的质量

例 2 圆的面积

例 3 球体的表面积

例 4 球的体积

定积分的基本性质

例 1　不均匀细绳的质量

例 2　圆的面积

例 3　球体的表面积

例 4　球的体积