贡献者: addis; ACertainUser; Giacomo
首先以不均匀细绳的质量为例,引入定积分的思想。具体来说本文介绍的是黎曼积分(Riemann integral),在 “极简微积分” 系列中,所有的定积分都是指黎曼积分。适用范围更广的勒贝格积分不在该系列的范围。
例 1 不均匀细绳的质量
一条密度不均匀的绳子长为 ,横截面积是 ,细绳距离 端 ()处的密度为 。求绳子的质量。
图 1:密度不均匀的绳子
如果题目中,密度是恒定的,那么直接可以写出绳子的质量为 。但是题中 是关于 的函数,所以我们要寻找另外的做法。假设绳子的密度变化是连续且 “平滑” 的,我们可以通过把绳子分割成 小节(注意这些小节必须严格地首尾相接,不能有重合或者空隙)。第 节取 到 ,令其长度为 使每一个小节内,密度可以近似看成是恒定的,这样我们可以用 来代替第 节的密度,当每一节足够小时,可以认为 在 约束下的取值并不会影响结果。第 小节的质量为
所以总的质量用求和符号来表示,就是
由于当 取有限值时,上式并不精确成立,所以只能使用约等号,但是 越大,约等号两边就越精确成立。这是极限的思想,用极限符号来表,就是
这种表达式在物理中反复出现,所以使用积分符号 用于代替极限和求和符号。另外把 写成 (当 趋近于无穷大时,参量 和 具体是多少就不重要了),把表示增量的 变为表示微分的 ,上式就写为
下面先看看 ,即 的另一种理解。画出 图像。例如 ,则 可以表示左图的第 个小长方形的面积, 表示长方形面积之和。如果 非常大且每个 取得非常小,左图看起来就会像右图。所以 可以用来表示右图阴影部分的面积。
图 2:定积分可以理解为曲线下面的面积,并看做由无限多个无穷窄的矩形组成。当最大的矩形也足够小时,矩形的划分方式将不会影响面积的计算。
但 里面显然不包含 和 的信息,我们根据题目中的情况,说这个积分是 “从 积到 ”,其中 是积分下限, 是积分上限。为了表示这个信息,把它写到积分号右边变为
这就是定积分的标准形式,但有时候为了书写方便,在不混淆的情况下可以把积分上下限省略。
这样的写法是很形象的,可以想象,积分号顺时针旋转 90 度后就是函数的曲线需要积分的部分,下标的位置代表积分的起点,上标代表终点。这样,很多问题就可以用积分表示了。
更一般地,如果把积分的起点和终点记为实数 ,那么对于一元函数的定积分就可以写为如下形式:
要注意的是,当函数值为负数时,我们
定义 “曲线下方的面积” 也取负数。此外,我们定义当 ,定义积分的结果是把 互换后的积分结果乘以 ,即
至于计算积分的具体方法,比求导要复杂得多,甚至很多积分的结果不能用初等函数表示,只能表示为级数等形式。然而对于基本初等函数的积分,用牛顿-莱布尼兹公式即可马上求解。
例 2 圆的面积
在直角坐标系中,圆的方程为 ,上半圆的方程可看做 关于 的函数
将该式定积分再乘以 2 即可得到圆的面积
我们还可以用另一种方法验证圆的面积公式。把圆划分成许多微小圆环,由例 2 ,每个微小圆环的面积为 ,所以圆的面积可以用定积分表示为
以上两个定积分的结果都为 ,过程见 “牛顿—莱布尼兹公式” 的例 2 。
例 3 球体的表面积
图 3:将球的表面划分成许多细圆环,每个对应的极角为
以球心为原点建立球坐标系,我们可以把球体的表面根据不同的 划分成许多细圆环(如图 3 ),每个圆环的面积等于周长乘以宽度,即
所以球的表面积可以用定积分记为
虽然我们还不会计算这个定积分(见 “牛顿—莱布尼兹公式”),但我们现在可以用一种巧妙的方法来简化问题。让我们来计算每个细圆环在极轴方向投影的长度。我们不妨把极轴叫做 轴,则对某个细圆环有 ,微分得 ,将该式消去式 11 中的 得
这说明无论细圆环的位置如何,其面积与其在 轴投影的长度的比值恒为 。至于上式中的负号,是因为我们假设了正的 对应正的面积,而正的 却对应负的 。由于面积恒为正值,我们可以取绝对值将负号去掉。这样,球的表面积就可以用定积分表示为
由于被积函数是一个常数,定积分的结果就是该常数乘以积分区间的长度即 。
例 4 球的体积
要计算一个半径为 的球体的体积,可以将球划分为无限个薄球壳,每个薄球壳的体积等于该球壳的表面积乘以厚度(见例 2 ),即 。所以球的体积可用定积分表示为
同样由 “
牛顿—莱布尼兹公式” 可得积分结果为 。
定积分的基本性质
每一本高数教材 [1] [2] 都会列出一张长长的定积分性质的表格。这里只列举一些其中的一些。这些定理尽管看起来都非常显然,但在实际做题时往往会带给初学者不少困惑。
- 仅仅改变积分变量的名称不影响积分的结果。
- 被积函数可加性。注意乘法可没有这么好的性质,不然我们也不需要大费周章地引入各种方法计算积分了!
- 积分区间可加性
图 4:积分区间可加性
- 翻转积分上下限会引入额外的负号
- 积分不等式。m 指区间上 f 的最小值,M 指最大值。
- 积分中值定理
。或者说, 就是该区间上定积分的 “平均值”。
[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
[2] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir.Thomas' Cauculus 14ed