库仑函数
贡献者： addis
1. 定义
1在球坐标系中解库仑势场中的定态薛定谔方程，当能量 $E > 0$ 时2，会得到径向方程（式 7 ）
\begin{equation}-\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{l}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[-\frac{Z}{r} + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_{l} = E_{n, l} \psi_{l}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u_l}}{\mathrm{d}{\rho}^{2}} + \left[1 - \frac{2\eta}{\rho} - \frac{l(l+1)}{\rho^2} \right] u_l = 0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\eta = -\frac{mZ}{k}~
\end{equation}
这是一个二阶常系数齐次常微分方程，其两个线性无关解为第一类库仑函数（Coulomb function of the first kind） $F_l(\eta, \rho)$ 和第二类库仑函数 $G_l(\eta, \rho)$。当方程的系数为实数时，第一类和第二类库仑函数也是实函数。
图 1：第一类库仑函数（$Z=1,k=1$）
第一类库仑函数（图 1 ）的解析式为（式中两套正负号是等价的）
\begin{equation}
F_l(\eta, \rho) = A_l(\eta) \rho^{l+1} \mathrm{e} ^{\mp \mathrm{i} \rho} M(l+1\mp \mathrm{i} \eta, 2l+2, \pm 2 \mathrm{i} \rho)~,
\end{equation}
\begin{equation}
A_l(\eta) = \frac{2^l \mathrm{e} ^{-\pi\eta/2} \left\lvert \Gamma(l+1+ \mathrm{i} \eta) \right\rvert }{(2l+1)!}~,
\end{equation}
\begin{equation}
F_l(\eta, \rho) = \left(\frac{\mp \mathrm{i} }{2} \right) ^{l+1} A_l(\eta) M_{\pm \mathrm{i} \eta, l+\frac12} \left(\pm 2 \mathrm{i} \rho \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
M_{\kappa, \mu}(z) = \mathrm{e} ^{-z/2} z^{\mu + 1/2} M(\mu - \kappa + 1/2, 1 + 2\mu, z)~,
\end{equation}
库仑相移
$F_l(\eta, \rho)$ 是一个实函数，且渐进形式为
\begin{equation} F_l(\eta, \rho) \overset{\rho\to \infty}{\longrightarrow} \sin \left[\rho - \frac{\pi l}{2} - \eta \ln\left(2\rho\right) + \sigma_l(\eta) \right] ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma_l(\eta) = \arg[\Gamma(l+1+ \mathrm{i} \eta)]~,
\end{equation}
2. 渐进形式
类似 $\rho$ 乘以第一类球贝塞尔函数3 $j_l(\rho)$，有
\begin{equation}
F_l(\eta, 0) = 0 \qquad \left. \frac{\mathrm{d}{F_l(\eta, \rho)}}{\mathrm{d}{\rho}} \right\rvert _{\rho=0} =
\begin{cases}
A_0(\eta) &(l = 0)\\
0 &(l > 0)
\end{cases}~
\end{equation}
\begin{equation} F_l(\eta, \rho) \rightarrow A_l(\eta) r^{l+1} + \mathcal{O}\left(r^{l+2} \right) ~.
\end{equation}
3. 其他类型的库仑函数
第二类库仑函数 $G_l(\eta, \rho)$ 可以由 $H_l^\pm(\eta, \rho)$ 得到，后者是两类库仑函数的线性组合4
\begin{equation}
H_l^\pm(\eta, \rho) = G_l(\eta, \rho) \pm \mathrm{i} F_l(\eta, \rho)~.
\end{equation}
\begin{equation}
H_l^\pm(\eta, \rho) = (\mp \mathrm{i} )^l \mathrm{e} ^{\pi\eta/2 \pm \mathrm{i} \sigma_l(\eta)} W_{\mp \mathrm{i} \eta, l + 1/2}(\mp 2 \mathrm{i} \rho)~,
\end{equation}
\begin{equation}
W_{\kappa, \mu}(z) = \mathrm{e} ^{-z/2} z^{\mu + 1/2} U(\mu - \kappa + 1/2, 1 + 2\mu, z)~,
\end{equation}
\begin{equation}
U(a, b, z) = \frac{\Gamma(1 - b)}{\Gamma(a + 1 - b)} M(a, b, z) + \frac{\Gamma(b - 1)}{\Gamma(a)} z^{1 - b} M(a + 1 - b, 2 - b, z)~.
\end{equation}
\begin{equation}
H_l^\pm(\eta, \rho) = \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \theta_l(\eta, \rho)}(\mp 2 \mathrm{i} \rho)^{l + 1 \pm \mathrm{i} \eta} U(l + 1 \pm \mathrm{i} \eta, 2l + 2, \mp2 \mathrm{i} \rho)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\theta_l(\eta, \rho) = \rho - \frac{l\pi}{2} - \eta \ln\left(2\rho\right) + \sigma_l(\eta)~.
\end{equation}
性质
$G_l(\eta,\rho)$ 的渐进形式为
\begin{equation}
\lim_{\rho\to \infty} G_l(\eta, \rho) = \cos\theta_l(\eta, \rho)~.
\end{equation}
库仑函数的导数可以由惠特克函数的导数得到。
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{z}} [M_{a, b}(z)] = \left(\frac12 - \frac{a}{z} \right) M_{a, b}(z) + \frac{1}{x} \left(a + b + \frac12 \right) M_{a+1, b}(z)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{z}} [W_{a, b}(z)] = \frac{1}{2z} \left[(z - 2a) W_{a, b}(z) - 2W_{a+1, b}(z) \right] ~.
\end{equation}
一种验证函数值是否正确的方法是使用以下性质
\begin{equation}
\mathcal{W}\{G, F\} = \mathcal{W}\{H^\pm, F\} = 1~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mathcal{W}\{f_1(x), f_2(x)\} = \begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x)
\end{vmatrix} = f_1(x) f_2'(x) - f_2(x) f_1'(x)~.
\end{equation}
由渐进形式可得径向归一化积分5与球贝塞尔函数乘以 $kr$ 的相同（式 22 ）
\begin{equation}
\int_0^\infty F_l(-Z/k', k' r)F_l(-Z/k, kr) \,\mathrm{d}{r} = \int_0^\infty \sin\left(k'r\right) \sin\left(kr\right) \,\mathrm{d}{r} = \frac{\pi}{2}\delta(k - k') \qquad (k, k' > 0)~.
\end{equation}
1. ^ 参考 NIST 相关页面。
2. ^ 当能量 $E < 0$ 时将得到束缚态，见 “类氢原子的定态波函数”
3. ^ 当 $\eta = 0$ 时 $F_l(\eta, \rho)=\rho j_l(\rho)$。
4. ^ 类比 $ \exp\left( \mathrm{i} x\right) = \cos x + \mathrm{i} \sin x$。
5. ^ 积分时可忽略 $\sin$ 中的额外相位，但笔者不会证。