库仑函数

贡献者： addis

预备知识　Gamma 函数，库仑散射（量子）

1. 定义

　　¹在球坐标系中解库仑势场中的定态薛定谔方程，当能量 $E > 0$ 时²，会得到径向方程（式 7 ）

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 m} \frac{d^{2} ψ_{l}}{d r^{2}} + [- \frac{Z}{r} + \frac{l (l + 1)}{2 m r^{2}}] ψ_{l} = E_{n, l} ψ_{l} . \end{matrix}

可化简为

\begin{matrix} (2) & \frac{d^{2} u_{l}}{d ρ^{2}} + [1 - \frac{2 η}{ρ} - \frac{l (l + 1)}{ρ^{2}}] u_{l} = 0 . \end{matrix}

其中

ρ = k r

，

\begin{matrix} (3) & η = - \frac{m Z}{k} \end{matrix}

叫做 Sommerfeld 参数。

　　这是一个二阶常系数齐次常微分方程，其两个线性无关解为第一类库仑函数（Coulomb function of the first kind） $F_{l} (η, ρ)$ 和第二类库仑函数 $G_{l} (η, ρ)$ 。当方程的系数为实数时，第一类和第二类库仑函数也是实函数。

图 1：第一类库仑函数（

Z = 1, k = 1

）

　　第一类库仑函数（图 1 ）的解析式为（式中两套正负号是等价的）

\begin{matrix} (4) & F_{l} (η, ρ) = A_{l} (η) ρ^{l + 1} e^{\mp i ρ} M (l + 1 \mp i η, 2 l + 2, \pm 2 i ρ), \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (5) & A_{l} (η) = \frac{2^{l} e^{- π η / 2} | Γ (l + 1 + i η) |}{(2 l + 1)!}, \end{matrix}

M (a, b, z)

是库默尔（Kummer）M 函数，也叫第一类合流超几何函数，记为

_{1} F_{1} (a; b; z)

。库仑函数也可以用惠特克（Whittaker）M 函数来表示得更紧凑

\begin{matrix} (6) & F_{l} (η, ρ) = {(\frac{\mp i}{2})}^{l + 1} A_{l} (η) M_{\pm i η, l + \frac{1}{2}} (\pm 2 i ρ), \end{matrix}

其中惠特克

M

函数与库默尔

M

函数的关系为

\begin{matrix} (7) & M_{κ, μ} (z) = e^{- z / 2} z^{μ + 1 / 2} M (μ - κ + 1 / 2, 1 + 2 μ, z), \end{matrix}

另见 “库仑函数程序（Matlab 和 Mathematica）”。

库仑相移

　　 $F_{l} (η, ρ)$ 是一个实函数，且渐进形式为

\begin{matrix} (8) & F_{l} (η, ρ) \overset{ρ \to \infty}{⟶} \sin [ρ - \frac{π l}{2} - η \ln (2 ρ) + σ_{l} (η)], \end{matrix}

其中

σ_{l} (η)

是库仑相移（Coulomb phase shift）

\begin{matrix} (9) & σ_{l} (η) = \arg [Γ (l + 1 + i η)], \end{matrix}

其中

\arg

函数是复数的辐角（式 5 ）。

2. 渐进形式

　　类似 $ρ$ 乘以第一类球贝塞尔函数³ $j_{l} (ρ)$ ，有

\begin{matrix} (10) & F_{l} (η, 0) = 0 {\frac{d F_{l} (η, ρ)}{d ρ} |}_{ρ = 0} = {\begin{cases} A_{0} (η) & (l = 0) \\ 0 & (l > 0) \end{cases} \end{matrix}

更一般地，当

r \to 0

时有

\begin{matrix} (11) & F_{l} (η, ρ) \to A_{l} (η) r^{l + 1} + O (r^{l + 2}) . \end{matrix}

由此可见当

r \to 0

时只有

l = 0

时

F_{l} (η, ρ) / r \to A_{0} (η)

不为零。

3. 其他类型的库仑函数

　　第二类库仑函数 $G_{l} (η, ρ)$ 可以由 $H_{l}^{\pm} (η, ρ)$ 得到，后者是两类库仑函数的线性组合⁴

\begin{matrix} (12) & H_{l}^{\pm} (η, ρ) = G_{l} (η, ρ) \pm i F_{l} (η, ρ) . \end{matrix}

定义为

\begin{matrix} (13) & H_{l}^{\pm} (η, ρ) = (\mp i)^{l} e^{π η / 2 \pm i σ_{l} (η)} W_{\mp i η, l + 1 / 2} (\mp 2 i ρ), \end{matrix}

其中

W_{κ, μ} (z)

是惠特克（Whittaker）W 函数

\begin{matrix} (14) & W_{κ, μ} (z) = e^{- z / 2} z^{μ + 1 / 2} U (μ - κ + 1 / 2, 1 + 2 μ, z), \end{matrix}

其中

U (a, b, z)

是库默尔（Kummer）U 函数，定义为

\begin{matrix} (15) & U (a, b, z) = \frac{Γ (1 - b)}{Γ (a + 1 - b)} M (a, b, z) + \frac{Γ (b - 1)}{Γ (a)} z^{1 - b} M (a + 1 - b, 2 - b, z) . \end{matrix}

式 14 代入式 13 得

\begin{matrix} (16) & H_{l}^{\pm} (η, ρ) = e^{\pm i θ_{l} (η, ρ)} (\mp 2 i ρ)^{l + 1 \pm i η} U (l + 1 \pm i η, 2 l + 2, \mp 2 i ρ), \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (17) & θ_{l} (η, ρ) = ρ - \frac{l π}{2} - η \ln (2 ρ) + σ_{l} (η) . \end{matrix}

是式 8 中的渐进相位。

性质

　　 $G_{l} (η, ρ)$ 的渐进形式为

\begin{matrix} (18) & lim_{ρ \to \infty} G_{l} (η, ρ) = \cos θ_{l} (η, ρ) . \end{matrix}

　　库仑函数的导数可以由惠特克函数的导数得到。

\begin{matrix} (19) & \frac{\partial}{\partial z} [M_{a, b} (z)] = (\frac{1}{2} - \frac{a}{z}) M_{a, b} (z) + \frac{1}{x} (a + b + \frac{1}{2}) M_{a + 1, b} (z), \end{matrix}

\begin{matrix} (20) & \frac{\partial}{\partial z} [W_{a, b} (z)] = \frac{1}{2 z} [(z - 2 a) W_{a, b} (z) - 2 W_{a + 1, b} (z)] . \end{matrix}

可见程序中求导数大概要比求函数值多用一倍时间（因为要求两次惠特克函数），但同时也顺便求出了函数值。如果同时需要两类库仑函数及它们的导数，只需求

H^{+}

函数的导数，这就顺便求出了

H^{+}

，再分别取实部虚部即可。另外只需要把

H^{+}

做复共轭即可得到

H^{-}

。

　　一种验证函数值是否正确的方法是使用以下性质

\begin{matrix} (21) & W {G, F} = W {H^{\pm}, F} = 1, \end{matrix}

其中

W {f_{1} (x), f_{2} (x)}

是二阶朗斯基行列式（Wronskian determinant）

\begin{matrix} (22) & W {f_{1} (x), f_{2} (x)} = | \begin{matrix} f_{1} (x) & f_{2} (x) \\ f_{1}^{'} (x) & f_{2}^{'} (x) \end{matrix} | = f_{1} (x) f_{2}^{'} (x) - f_{2} (x) f_{1}^{'} (x) . \end{matrix}

　　由渐进形式可得径向归一化积分⁵与球贝塞尔函数乘以 $k r$ 的相同（式 22 ）

\begin{matrix} (23) & \int_{0}^{\infty} F_{l} (- Z / k^{'}, k^{'} r) F_{l} (- Z / k, k r) d r = \int_{0}^{\infty} \sin (k^{'} r) \sin (k r) d r = \frac{π}{2} δ (k - k^{'}) (k, k^{'} > 0) . \end{matrix}

1. ^ 参考 NIST 相关页面。
2. ^ 当能量 $E < 0$ 时将得到束缚态，见 “类氢原子的定态波函数”
3. ^ 当 $η = 0$ 时 $F_{l} (η, ρ) = ρ j_{l} (ρ)$ 。
4. ^ 类比 $\exp (i x) = \cos x + i \sin x$ 。
5. ^ 积分时可忽略 $\sin$ 中的额外相位，但笔者不会证。