超几何函数

贡献者：欄、停敘; addis

预备知识　幂级数，连分数

　　在微积分中接触过，几何级数定义如下：

\begin{matrix} (1) & \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} . \end{matrix}

　　研究几何级数推广得到的超几何函数（或称普通超几何函数、高斯超几何函数）是一个级数。很多特殊函数都是它的特例或极限。定义如下：

\begin{matrix} (2) & F (a, b; c; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n}} \frac{z^{n}}{n!} . \end{matrix}

其中

(a)_{n} = a (a + 1) \dots (a + n - 1)

，叫做 Pochhammer 符号。

　　若 $a, b$ 为非负整数，则此时 $F$ 为有限级数和； $c$ 为非负整数，则 $F$ 为无穷。

　　由于 $(1)_{n} = n!$ ，可以发现，几何级数是超几何函数在 $a = 1, b = c$ 时的一个特例，即：

\begin{matrix} (3) & \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = F (1, b; b; z) . \end{matrix}

1. 广义超几何函数

　　超几何函数进一步推广得到的广义超几何函数表示为¹

\begin{matrix} (4) & _{p} F_{q} (a_{1}, \dots, a_{p}; b_{1}, \dots, b_{q}; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1})_{n} \dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n} \dots (b_{q})_{n}} \frac{z^{n}}{n!} . \end{matrix}

其中

(a)_{n}

同上，为 Pochhammer 符号。

　　对比可以发现，超几何函数是广义超几何函数在 $p = 2, q = 1$ 时的特例，即：

\begin{matrix} (5) & F (a, b; c; z) =_{2} F_{1} (a_{1}, a_{2}; b_{1}; z) . \end{matrix}

因此，一般也会将超几何函数记作

_{2} F_{1} (a, b; c; z)

，用以明晰它和广义超几何函数的关系。同时，几何级数也是广义超几何函数在

p = 1, q = 0, a = 1

时的特例，即：

\begin{matrix} (6) & \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} =_{1} F_{0} (1;; z) . \end{matrix}

根据指数函数

e^{z}

的泰勒展开可以看出，它是广义超几何函数在

p = 0, q = 0

时的特例，即：

\begin{matrix} (7) & e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} =_{0} F_{0} (;; z) . \end{matrix}

在

p = 1, q = 0

时，广义超几何函数称为合流超几何函数，记作

_{1} F_{1} (a; b; z)

。一般在求平面库仑波函数使用，其级数展开为

\begin{matrix} (8) & _{1} F_{1} (a; b; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n}}{(b)_{n}} \frac{z^{n}}{n!}, \end{matrix}

渐进展开为

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} _{1} F_{1} (a; b; z) & = \frac{(- 1)^{a} Γ (b)}{Γ (b - a)} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{(a)_{n} (a - b + 1)_{n}}{n!} z^{- n - a} \\ + \frac{Γ (b)}{Γ (a)} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(b - a)_{n} (1 - a)_{n}}{n!} z^{- n + a - b} e^{z}, \end{aligned} \end{matrix}

连分数展开为

\begin{matrix} (10) & _{1} F_{1} (a; b; z) = 1 + \frac{a z / b}{1 + \dots} \frac{- c_{1} z}{1 + c_{1} z + \dots} \frac{- c_{2} z}{1 + c_{2} z + \dots}, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & c_{n} = \frac{a + n}{(n + 1) (b + n)} . \end{matrix}

1. ^ 但据说当 $p > q + 1$ 时级数不收敛