贡献者： 欄、停敘; addis
在微积分中接触过，几何级数定义如下：
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty z^n~.
\end{equation}
研究几何级数推广得到的超几何函数（或称普通超几何函数、高斯超几何函数）是一个级数。很多特殊函数都是它的特例或极限。定义如下：
\begin{equation}
F(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}~.
\end{equation}
其中 $(a)_n = a(a+1)\dots(a+n-1)$，叫做
Pochhammer 符号。
若 $a,b$ 为非负整数，则此时 $F$ 为有限级数和；$c$ 为非负整数，则 $F$ 为无穷。
由于 $(1)_n=n!$，可以发现，几何级数是超几何函数在 $a=1,b=c$ 时的一个特例，即：
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty z^n=F(1,b;b;z)~.
\end{equation}
1. 广义超几何函数
超几何函数进一步推广得到的广义超几何函数表示为1
\begin{equation}
{_pF_q}(a_1,\dots, a_p; b_1, \dots, b_q; z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots (a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \frac{z^n}{n!}~.
\end{equation}
其中 $(a)_n$ 同上，为 Pochhammer 符号。
对比可以发现，超几何函数是广义超几何函数在 $p=2,q=1$ 时的特例，即：
\begin{equation}
F(a,b;c;z)={_2F_1}(a_1,a_2; b_1; z)~.
\end{equation}
因此，一般也会将超几何函数记作 ${_2F_1}(a,b;c; z)$，用以明晰它和广义超几何函数的关系。同时，几何级数也是广义超几何函数在 $p=1,q=0,a=1$ 时的特例，即：
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty z^n={_1F_0}(1;; z)~.
\end{equation}
根据指数函数 $e^z$ 的泰勒展开可以看出，它是广义超几何函数在 $p=0,q=0$ 时的特例，即：
\begin{equation}
e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}={_0F_0}(;; z)~.
\end{equation}
在 $p=1,q=0$ 时，广义超几何函数称为合流超几何函数，记作 $_1F_1(a; b; z)$。一般在求平面库仑波函数使用，其级数展开为
\begin{equation}
_1F_1(a; b; z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{(b)_n} \frac{z^n}{n!}~,
\end{equation}
渐进展开为
\begin{equation} \begin{aligned}
{_1F_1}(a; b; z) &= \frac{(-1)^a\Gamma(b)}{\Gamma(b-a)} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(a)_n (a-b+1)_n}{n!} z^{-n-a}\\
&+ \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)} \sum_{n=0}^\infty \frac{(b-a)_n (1-a)_n}{n!} z^{-n+a-b} \mathrm{e} ^z~,
\end{aligned} \end{equation}
连分数展开为
\begin{equation}
{_1F_1}(a; b; z) = 1 + \frac{az/b}{1+\dots}\ \frac{-c_1 z}{1 + c_1 z + \dots}\ \frac{-c_2 z}{1 + c_2 z +\dots}~,
\end{equation}
\begin{equation}
c_n = \frac{a + n}{(n+1)(b + n)}~.
\end{equation}
1. ^ 但据说当 $p > q+1$ 时级数不收敛