艾里函数

贡献者： addis; 切糕糕

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预备知识 1　常微分方程，二阶线性微分方程

　　¹艾里函数（Airy function）是微分方程

\begin{equation} y'' - xy = 0~ \end{equation}

的两个线性无关解，分别记为 $ \operatorname {Ai}(x)$ 和 $ \operatorname {Bi}(x)$。

图 1：艾里函数

　　艾里函数可以用反常积分定义

\begin{equation} \operatorname {Ai}(x)=\frac 1\pi \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3}+xt\right) \,\mathrm{d}{t} ~, \end{equation}

\begin{equation} \operatorname {Bi}(x)=\frac 1\pi \int_0^\infty \left[ \exp\left(-\frac{t^3}{3}+xt\right) + \sin\left(\frac{t^3}{3}+xt\right) \right] \,\mathrm{d}{t} ~. \end{equation}

乍看之下，三角函数在 $[0,\infty)$ 的积分似乎不收敛，但由于相位以 $t^3$ 变化，原函数在 $t\to+\infty$ 的震荡会原来越快，幅度越来越小，最终收敛。

1. 性质

\begin{equation} \operatorname {Ai}(0) = \frac{1}{3^{2/3} \Gamma(2/3)} \approx 0.355 \qquad~, \operatorname {Bi}(0) = \frac{1}{3^{1/6} \Gamma(2/3)} \approx 0.615~, \end{equation}

其中 $\Gamma$ 是 Gamma 函数。

渐近形式

　　²艾里函数一种较简单的渐近形式为

\begin{align} \operatorname {Ai}(x) \overset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2\sqrt{\pi} x^{1/4}} \exp\left(-\frac{2}{3}x^{3/2}\right) ~,\\ \operatorname {Bi}(x) \overset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{\pi} x^{1/4}} \exp\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) ~. \end{align}

$x \to -\infty$

\begin{align} \operatorname {Ai}(x) \overset{x \to -\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{\pi} \left\lvert x \right\rvert ^{1/4}} \sin\left(\frac{2}{3} \left\lvert x \right\rvert ^{3/2}+\frac{\pi}{4}\right) ~,\\ \operatorname {Bi}(x) \overset{x \to -\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{\pi} \left\lvert x \right\rvert ^{1/4}} \cos\left(\frac{2}{3} \left\lvert x \right\rvert ^{3/2}+\frac{\pi}{4}\right) ~. \end{align}

图 2：蓝线为艾里函数，橙线为渐进形式

积分

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname {Ai}(x) \,\mathrm{d}{x} = 1~. \end{equation}

正交性

　　艾里函数 $ \operatorname {Ai}$ 的正交性定义为（证明略）

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname {Ai}(x-x_1) \operatorname {Ai}(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} =\delta(x_1-x_2)~, \end{equation}

这需要使用 $\delta$ 函数列来理解。

　　近似的证明：当 $L\to \infty$ 时，

\begin{equation} \int_{-n}^{+n} \operatorname {Ai}(x-x_1) \operatorname {Ai}(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} \to \frac{k_n}{\pi} \operatorname{sinc} [k_n (x_1 - x_2)]~. \end{equation}

（为什么？）其中 $k_n$ 关于 $n$ 递增，而右边是一个 $\delta$ 函数列。

与贝塞尔函数关系

预备知识 2　贝塞尔函数

　　对 $x>0$，有

\begin{equation} \operatorname {Ai}(x)=\frac1\pi \sqrt{\frac x3} K_{\frac13} \left(\frac23 x^{\frac32} \right) ~, \end{equation}

\begin{equation} \operatorname {Bi}(x)=\sqrt{\frac x3} \left[I_{\frac13} \left(\frac23 x^{\frac32} \right) +I_{-\frac13} \left(\frac23 x^{\frac32} \right) \right] ~. \end{equation}

其中 $K$ 和 $I$ 分别为第一类、第二类修正贝塞尔函数（见式 16 ）. 对 $x<0$，有

\begin{equation} \operatorname {Ai}(x)=\sqrt{\frac{ \left\lvert x \right\rvert }{9}} \left[J_{\frac13} \left(\frac23 \left\lvert x \right\rvert ^{\frac32} \right) +J_{-\frac13} \left(\frac23 \left\lvert x \right\rvert ^{\frac32} \right) \right] ~, \end{equation}

\begin{equation} \operatorname {Bi}(x)=\sqrt{\frac{ \left\lvert x \right\rvert }{3}} \left[J_{-\frac13} \left(\frac23 \left\lvert x \right\rvert ^{\frac32} \right) -J_{\frac13} \left(\frac23 \left\lvert x \right\rvert ^{\frac32} \right) \right] ~. \end{equation}

其中，$J$ 为第一类贝塞尔函数（式 2 ）.

2. 应用

微分方程变形

　　令 $a, b\in \mathbb R$，那么

\begin{equation} y'' - (ax + b) y = 0~ \end{equation}

的通解是

\begin{equation} y(x) = C_1 \operatorname {Ai} \left(\frac{ax+b}{ \left\lvert a \right\rvert ^{2/3}} \right) + C_2 \operatorname {Bi} \left(\frac{ax+b}{ \left\lvert a \right\rvert ^{2/3}} \right) ~. \end{equation}

线性势能的薛定谔方程

　　在一维定态薛定谔方程中，若势能函数是线性的，即 $V(x) = px + q$，那么方程整理后可变为式 16 的形式，所以波函数就是式 17 的形式。详见 “线性势能的定态薛定谔方程”。该势能的一个应用是 WKB 近似，WKB 近似是量子力学中解定态薛定谔方程的一种近似方法。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 参考 [1] 中的 WKB 近似章节。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed