艾里函数

贡献者： addis; 切糕糕

预备知识 1　常微分方程，二阶线性微分方程

　　¹艾里函数（Airy function）是微分方程

\begin{matrix} (1) & y^{″} - x y = 0 \end{matrix}

的两个线性无关解，分别记为

Ai (x)

和

Bi (x)

。

图 1：艾里函数

　　艾里函数可以用反常积分定义

\begin{matrix} (2) & Ai (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} \cos (\frac{t^{3}}{3} + x t) d t, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & Bi (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} [\exp (- \frac{t^{3}}{3} + x t) + \sin (\frac{t^{3}}{3} + x t)] d t . \end{matrix}

乍看之下，三角函数在

[0, \infty)

的积分似乎不收敛，但由于相位以

t^{3}

变化，原函数在

t \to + \infty

的震荡会原来越快，幅度越来越小，最终收敛。

1. 性质

\begin{matrix} (4) & Ai (0) = \frac{1}{3^{2 / 3} Γ (2 / 3)} \approx 0.355, Bi (0) = \frac{1}{3^{1 / 6} Γ (2 / 3)} \approx 0.615, \end{matrix}

其中

Γ

　　²艾里函数一种较简单的渐近形式为

\begin{array}{r} (5) & Ai (x) \overset{x \to + \infty}{⟶} \frac{1}{2 \sqrt{π} x^{1 / 4}} \exp (- \frac{2}{3} x^{3 / 2}), \\ (6) & Bi (x) \overset{x \to + \infty}{⟶} \frac{1}{\sqrt{π} x^{1 / 4}} \exp (\frac{2}{3} x^{3 / 2}) . \end{array}

x \to - \infty

\begin{array}{r} (7) & Ai (x) \overset{x \to - \infty}{⟶} \frac{1}{\sqrt{π} {| x |}^{1 / 4}} \sin (\frac{2}{3} {| x |}^{3 / 2} + \frac{π}{4}), \\ (8) & Bi (x) \overset{x \to - \infty}{⟶} \frac{1}{\sqrt{π} {| x |}^{1 / 4}} \cos (\frac{2}{3} {| x |}^{3 / 2} + \frac{π}{4}) . \end{array}

图 2：蓝线为艾里函数，橙线为渐进形式

\begin{matrix} (9) & \int_{- \infty}^{+ \infty} Ai (x) d x = 1 . \end{matrix}

　　艾里函数 $Ai$ 的正交性定义为（证明略）

\begin{matrix} (10) & \int_{- \infty}^{+ \infty} Ai (x - x_{1}) Ai (x - x_{2}) d x = δ (x_{1} - x_{2}), \end{matrix}

这需要使用

δ

函数列来理解。

　　近似的证明：当 $L \to \infty$ 时，

\begin{matrix} (11) & \int_{- n}^{+ n} Ai (x - x_{1}) Ai (x - x_{2}) d x \to \frac{k_{n}}{π} sinc [k_{n} (x_{1} - x_{2})] . \end{matrix}

（为什么？）其中

k_{n}

关于

n

递增，而右边是一个

δ

函数列。

预备知识 2　贝塞尔函数

　　对 $x > 0$ ，有

\begin{matrix} (12) & Ai (x) = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{x}{3}} K_{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}), \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & Bi (x) = \sqrt{\frac{x}{3}} [I_{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + I_{- \frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})] . \end{matrix}

其中

K

和

I

分别为第一类、第二类修正贝塞尔函数（见式 16 ）. 对

x < 0

，有

\begin{matrix} (14) & Ai (x) = \sqrt{\frac{| x |}{9}} [J_{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {| x |}^{\frac{3}{2}}) + J_{- \frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {| x |}^{\frac{3}{2}})], \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & Bi (x) = \sqrt{\frac{| x |}{3}} [J_{- \frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {| x |}^{\frac{3}{2}}) - J_{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {| x |}^{\frac{3}{2}})] . \end{matrix}

其中，

J

为第一类贝塞尔函数（式 2 ）.

　　令 $a, b \in R$ ，那么

\begin{matrix} (16) & y^{″} - (a x + b) y = 0 \end{matrix}

的通解是

\begin{matrix} (17) & y (x) = C_{1} Ai (\frac{a x + b}{{| a |}^{2 / 3}}) + C_{2} Bi (\frac{a x + b}{{| a |}^{2 / 3}}) . \end{matrix}

　　在一维定态薛定谔方程中，若势能函数是线性的，即 $V (x) = p x + q$ ，那么方程整理后可变为式 16 的形式，所以波函数就是式 17 的形式。详见 “线性势能的定态薛定谔方程”。该势能的一个应用是 WKB 近似，WKB 近似是量子力学中解定态薛定谔方程的一种近似方法。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 参考 [1] 中的 WKB 近似章节。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed