贡献者： addis
1. 第一类不完全椭圆积分
1第一类不完全椭圆积分（incomplete elliptic integral of the first kind）为
\begin{equation}
F(\phi, k) = \int_0^\phi \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\sqrt{1 - k^2\sin^2 x}}~,
\end{equation}
椭圆积分有时候也记为 $F(\phi | k^2) = F(\sin\phi ; k)$。
使用积分换元法，令 $t = \sin x$，有
\begin{equation}
F \left(\phi, k \right) = \int_0^{\sin{\phi}} \frac{ \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}~.
\end{equation}
另一种换元法是令 $\theta = 2x$，$k = \csc\left(\theta_0/2\right) $，$F(\phi, k)$ 也可以表示为
\begin{equation}
F \left(\phi, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{\theta_0}{2} \int_0^{2\phi} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}}~.
\end{equation}
数值计算
$F(\phi | m)$ 的 Matlab 函数为 ellipticF(phi, m)，Mathematica 函数为 EllipticF[phi, m]。
2. 第二类不完整椭圆积分
第二类不完整椭圆积分（incomplete elliptic integral of the second kind）为
\begin{equation}
E(\varphi, k) = E(\varphi | k^2) = E(\sin\varphi; k) = \int_0^\varphi \sqrt{1 - k^2\sin^2\theta} \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
令 $x = \sin\varphi$，则有
\begin{equation}
E(x; k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1 - k^2t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
该函数可用于计算椭圆的弧长，详见
例 2 。
数值计算
$E(\phi | m)$ 的 Matlab 函数为 ellipticE(phi, m)，Mathematica 函数为 EllipticE[phi, m]。
未完成：图
第二类完整椭圆积分
令以上的 $\varphi = \pi/2$ 或 $x = 1$，就得到第二类完整椭圆积分（complete elliptic integral of the second kind）
\begin{equation}
\begin{aligned}
E(k) &= E \left(\frac{\pi}{2}, k \right) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2\sin^2\theta} \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= E(1; k) = \int_0^1 \frac{\sqrt{1 - k^2 t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
椭圆的周长为（见
例 2 ）
\begin{equation}
c = 4aE(e)~.
\end{equation}
其中 $a$ 是椭圆的长轴，$e$ 是离心率。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。