椭圆积分

贡献者： addis

预备知识　换元积分法，曲线的长度

1. 第一类不完全椭圆积分

　　¹第一类不完全椭圆积分（incomplete elliptic integral of the first kind）为

\begin{matrix} (1) & F (ϕ, k) = \int_{0}^{ϕ} \frac{d x}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} x}}, \end{matrix}

椭圆积分有时候也记为

F (ϕ | k^{2}) = F (\sin ϕ; k)

。

　　使用积分换元法，令 $t = \sin x$ ，有

\begin{matrix} (2) & F (ϕ, k) = \int_{0}^{\sin ϕ} \frac{d t}{\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - k^{2} t^{2})}} . \end{matrix}

另一种换元法是令

θ = 2 x

，

k = \csc (θ_{0} / 2)

，

F (ϕ, k)

也可以表示为

\begin{matrix} (3) & F (ϕ, \csc \frac{θ_{0}}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{θ_{0}}{2} \int_{0}^{2 ϕ} \frac{d θ}{\sqrt{\cos θ - \cos θ_{0}}} . \end{matrix}

　　 $F (ϕ | m)$ 的 Matlab 函数为 ellipticF(phi, m)，Mathematica 函数为 EllipticF[phi, m]。

　　 第二类不完整椭圆积分（incomplete elliptic integral of the second kind）为

\begin{matrix} (4) & E (φ, k) = E (φ | k^{2}) = E (\sin φ; k) = \int_{0}^{φ} \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} θ} d θ . \end{matrix}

令

x = \sin φ

，则有

\begin{matrix} (5) & E (x; k) = \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1 - k^{2} t^{2}}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t . \end{matrix}

该函数可用于计算椭圆的弧长，详见例 2 。

　　 $E (ϕ | m)$ 的 Matlab 函数为 ellipticE(phi, m)，Mathematica 函数为 EllipticE[phi, m]。

未完成：图

　　令以上的 $φ = π / 2$ 或 $x = 1$ ，就得到第二类完整椭圆积分（complete elliptic integral of the second kind）

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} E (k) & = E (\frac{π}{2}, k) = \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} θ} d θ \\ = E (1; k) = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - k^{2} t^{2}}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t . \end{aligned} \end{matrix}

椭圆的周长为（见例 2 ）

\begin{matrix} (7) & c = 4 a E (e) . \end{matrix}

其中

a

是椭圆的长轴，

e

是离心率。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。