Gamma 函数

贡献者： addis; spain

预备知识 1　定积分

　　¹ $Γ$ 函数（gamma function）可以看成是阶乘在实数或复数域的拓展，该函数有多种定义方法，这里先讨论实数域上的定积分定义。该方法可以定义 $(- 1, \infty)$ 区间的阶乘

\begin{matrix} (1) & x! \equiv Γ (x + 1) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x} e^{- t} d t (x > - 1) . \end{matrix}

即

Γ

函数在区间

(0, \infty)

被定义为

\begin{matrix} (2) & Γ (x) \equiv \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t (x > 0) . \end{matrix}

可以证明新定义的阶乘的递推关系仍为

\begin{matrix} (3) & (x + 1)! = (x + 1) x! (x > - 1), \end{matrix}

且

0! = 1

。所以当

x

取正整数

N

时，式 1 的结果仍然是熟悉的

N! = N (N - 1) \dots, 1

。

　　另外能证明 $(- 1 / 2)! = \sqrt{π}$ ，由此我们可以直接写出半整数的阶乘为

\begin{matrix} (4) & \frac{N}{2}! = \frac{N}{2} (\frac{N}{2} - 1) \dots \frac{1}{2} \sqrt{π} (N > 0) . \end{matrix}

1. 推导

预备知识 2　分部积分法

　　首先当 $x ⩽ 0$ 时该积分在 $x = 0$ 处不收敛，以下仅讨论 $x$ 为正实数的情况²。

　　我们现在验证当 $x$ 取正整数时，新定义的阶乘 $x! = Γ (x + 1)$ 与原来的定义 $x! = x (x - 1) \dots 1$ 相同。首先

\begin{matrix} (5) & 0! = Γ (1) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 0 - (- 1) = 1 . \end{matrix}

　　使用分部积分法，令 $t^{x}$ 为 “求导项”， $e^{- t}$ 为 “积分项”，可得递推公式³（式 3 ）

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} x! & = Γ (x + 1) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x} e^{- t} d t = - {t^{x} e^{- t} |}_{0}^{+ \infty} + \int_{0}^{+ \infty} x t^{x - 1} e^{- t} d t \\ = x \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t = x Γ (x) = x (x - 1)! . \end{aligned} \end{matrix}

由递推式 6 和初值式 5 ，对任意正整数

n

有

\begin{matrix} (7) & n! = n (n - 1)! = n (n - 1) (n - 2)! . . . = n (n - 1) . . .1 \end{matrix}

　　再来看半整数的阶乘，我们讨论范围内的最小半整数的阶乘为

\begin{matrix} (8) & (- \frac{1}{2})! = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- x}}{\sqrt{x}} d x = 2 \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \sqrt{π}, \end{matrix}

其中使用了换元法令

x = t^{2}

将定积分变为高斯积分。

2. 渐近公式

　　对于大的 $x$ , 有斯特林公式（Stirling formula）： $Γ (x + 1) = \sqrt{2 π x} {(\frac{x}{e})}^{x} (1 + \frac{1}{12 x} + \frac{1}{288 x^{2}} - \frac{139}{51840 x^{3}} - \frac{571}{2488320 x^{4}} + \dots)$ 这是一个渐近展开，右边的级数是发散的。它的推导可见拉普拉斯方法

Matlab 代码

　　 Matlab 中的默认 gamma(x) 函数接受一个实数 double 类型 x，但如果你安装了符号工具箱 Matlab 符号计算和变精度计算，可以用 gamma(vpa(x))。

代码 1：gamma_sym.m

% symbolic implementation of gamma function
% input and output are 'double' (supports complex and matrix)
% efficiency: ~6e-4 [s/eval]
function z = gamma_sym(z)
if issym(z), error('argument must be double'); end
old = digits(17);
z = double(gamma(vpa(z)));
if any(isnan(z) | isinf(z))
    warning('bad output !');
end
digits(old);
end

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面以及 [1] 相关章节。
2. ^ 事实上，自变量为负实数（非整数）时， $Γ$ 函数有另一种定义，这里不讨论。
3. ^ 该证明仅对 $x > 0$ 适用，这样才有 $0^{x} e^{- 0} = 0$ ，使第四个等号成立。

[1] ^ Arfken, Weber, Harris. Mathematical Methods for Physicists - A Comprehensive Guide 7ed