共轭算子

贡献者：零穹

预备知识　共轭空间与代数共轭空间，拓扑线性空间中的线性算子

　　设 $E, E_{1}$ 是拓扑线性空间， $A$ 是 $E$ 到 $E_{1}$ 的线性连续算子， $g$ 是 $E_{1}$ 上的线性连续泛函，即 $g \in$ $E_{1}^{*}$ ，则由映射连续和线性的传递性， $g A$ 是 $E$ 上的线性连续泛函，即 $g A \in E^{*}$ 。因此，在线性连续算子 $A$ 的作用下，每一 $E_{1}$ 上的线性连续泛函 $g \in E_{1}^{*}$ 都对应一个泛函 $g A \in E^{*}$ 。即得从 $E_{1}^{*}$ 到 $E^{*}$ 的某个算子，这就是所谓的算子 $A$ 的共轭算子。

定义 1　共轭算子

　　设 $A$ 是线性拓扑空间 $E$ 到 $E_{1}$ 的线性连续算子，则称映射 $E_{1}^{*} \to E^{*} : g \mapsto g A$ 为 $A$ 的共轭算子，记作 $A^{*}$ 。

定义 2　符号约定

　　设 $f$ 是泛函，则记 $(f, x) := f (x)$ 。

定理 1　

　　设 $A$ 是线性连续算子，则

\begin{matrix} (1) & (g, A x) = (A^{*} g, x) . \end{matrix}

　　 证明：由共轭算子定义 1 ，有

\begin{matrix} (2) & A^{*} g = g A . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (3) & (A^{*} g, x) = (g A, x) = g (A x) = (g, A x) . \end{matrix}

　　 证毕！ 式 1 往往被用作共轭算子的定义。

例 1　有限维空间的共轭算子

　　设 $A : R^{n} \to R^{m}$ 是线性连续算子，则

\begin{matrix} (4) & A (E_{1} X) = A (E_{1}) X = E_{2} \bar{A} X . \end{matrix}

其中

E_{1} = (e_{1}, \dots, e_{n})

是

R^{n}

的基，

E_{2} = (e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'})

是

R^{m}

的基，

X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}

是矢量

E_{1} X \in R^{n}

在基

E_{1}

下的坐标，

\bar{A}

为算子

A

在两基底下对应的矩阵。设

f

是

R^{m}

上的线性连续泛函，则由共轭算子定义，

\begin{matrix} (5) & A^{*} f = f A . \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} (A^{*} f) (E_{1}) X & = A^{*} f (E_{1} X) = (f A) (E_{1} X) \\ = f (E_{2} \bar{A} X) = f (E_{2}) \bar{A} X \end{aligned} . \end{matrix}

从而

(A^{*} f) (E_{1}) = f (E_{2}) \bar{A} = {\bar{A}}^{T} f (E_{2})^{T}

，注意

f (E_{2})^{T}

是

f

在

{R^{m}}^{*}

中的坐标，因此该式表明在

A^{*}

的作用下，

f

的坐标变换由矩阵

{\bar{A}}^{T}

作用，即

A^{*}

对应的矩阵是

A

矩阵的转置。

1. 性质

定理 2　

　　设 $A, B$ 是连续线性算子，则成立：

$A^{*}$ 是线性的；
$(A + B)^{*} = A^{*} + B^{*}$ ；
$(α A)^{*} = α A^{*}$ 。

　　 证明：由定义 1 ，

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} A^{*} (α f + β g) & = (α f + β g) A \\ = α f A + β g A \\ = α A^{*} f + β A^{*} g . \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} (A + B)^{*} (f) & = f (A + B) = f A + f B \\ = A^{*} f + B^{*} f = (A^{*} + B^{*}) f . \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} (α A)^{*} (f) & = f (α A) = α f A = α A^{*} f . \end{aligned} \end{matrix}

其中用到了

f (α A + β B) = α f A + β f B

，这是因为

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} f (α A + β B) (x) & = f (α A (x) + β B (x)) \\ = α f A (x) + β f B (x) \\ = (α f A + β f B) (x) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证毕！

定理 3　

　　若 $A$ 是赋范空间之间的有界线性算子，则

\begin{matrix} (11) & ‖ A^{*} ‖ = ‖ A ‖ . \end{matrix}

　　 证明：根据定理 1 和赋范空间满足第一可数性，可知线性有界算子必定是线性连续算子，因此线性有界算子可以讨论共轭性。根据算子范数的性质，

\begin{matrix} (12) & | (A^{*} g, x) | = | (g, A x) | \leq ‖ g ‖ \cdot ‖ A ‖ \cdot ‖ x ‖ . \end{matrix}

而

\begin{matrix} (13) & ‖ A^{*} g ‖ = sup_{x \neq 0} \frac{| (A^{*} g, x) |}{‖ x ‖} \leq ‖ g ‖ \cdot ‖ A ‖ . \end{matrix}

因此，

\begin{matrix} (14) & \frac{‖ A^{*} g ‖}{‖ g ‖} \leq ‖ A ‖ \Rightarrow ‖ A^{*} ‖ = sup_{g \neq 0} \frac{‖ A^{*} g ‖}{‖ g ‖} \leq ‖ A ‖ . \end{matrix}

　　设 $x \in E, A x \neq 0$ 。令 $y_{0} = \frac{A x}{‖ A x ‖} \in E_{1}$ 。显然， $‖ y_{0} ‖ = 1$ 。由推论 1 ，存在全空间上的线性连续泛函 $g$ ，使得

\begin{matrix} (15) & ‖ g ‖ = 1, (g, y_{0}) = ‖ y_{0} ‖ = 1. \end{matrix}

即

(g, A x) = ‖ A x ‖

（由

y_{0}

的定义）。因此

\begin{matrix} (16) & ‖ A x ‖ = (g, A x) = | (A^{*} g, x) | \leq ‖ A^{*} ‖ \cdot ‖ x ‖ . \end{matrix}

和式 12 得到式 14 一样，有

‖ A ‖ \leq ‖ A^{*} ‖

。从而命题得证。

　　 证毕！

共轭算子

定义 1 共轭算子

定义 2 符号约定

定理 1

例 1 有限维空间的共轭算子

1. 性质

定理 2

定理 3

定义 1　共轭算子

定义 2　符号约定

定理 1　

例 1　有限维空间的共轭算子

定理 2　

定理 3　