贡献者： 零穹
预备知识 共轭空间与代数共轭空间
，拓扑线性空间中的线性算子
设 $E,E_1$ 是拓扑线性空间，$A$ 是 $E$ 到 $E_1$ 的线性连续算子，$g$ 是 $E_1$ 上的线性连续泛函，即 $g\in$ $ E_1^*$，则由映射连续和线性的传递性，$gA$ 是 $E$ 上的线性连续泛函，即 $gA\in E^*$。因此，在线性连续算子 $A$ 的作用下，每一 $E_1$ 上的线性连续泛函 $g\in E_1^*$ 都对应一个泛函 $gA\in E^*$。即得从 $E_1^*$ 到 $E^*$ 的某个算子，这就是所谓的算子 $A$ 的共轭算子。
定义 1 共轭算子
设 $A$ 是线性拓扑空间 $E$ 到 $E_1$ 的线性连续算子，则称映射 $E_1^*\rightarrow E^*:g\mapsto gA$ 为 $A$ 的共轭算子，记作 $A^*$。
定义 2 符号约定
设 $f$ 是泛函，则记 $(f,x):=f(x)$。
定理 1
设 $A$ 是线性连续算子，则
\begin{equation}
(g,Ax)=(A^* g,x).~
\end{equation}
证明：由共轭算子定义 1 ，有
\begin{equation}
A^*g=gA.~
\end{equation}
于是
\begin{equation}
(A^*g,x)=(gA,x)=g(Ax)=(g,Ax).~
\end{equation}
证毕！
式 1 往往被用作共轭算子的定义。
例 1 有限维空间的共轭算子
设 $A:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m$ 是线性连续算子，则
\begin{equation}
A(E_1 X)=A(E_1)X=E_2 \bar AX.~
\end{equation}
其中 $E_1=(e_1,\cdots,e_n)$ 是 $\mathbb R^n$ 的基，$E_2=(e'_1,\cdots,e'_n)$ 是 $\mathbb R^m$ 的基，$X=(x_1,\cdots,x_n)^T$ 是矢量 $E_1X\in\mathbb R^n$ 在基 $E_1$ 下的坐标，$\bar A$ 为算子 $A$ 在两基底下对应的矩阵。设 $f$ 是 $\mathbb R^m$ 上的线性连续泛函，则由共轭算子定义，
\begin{equation}
A^*f=fA.~
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
(A^*f)(E_1)X&=A^*f(E_1X)=(fA)(E_1X)\\
&=f(E_2 \bar AX)=f(E_2)\bar AX
\end{aligned}.~
\end{equation}
从而 $(A^*f)(E_1)=f(E_2)\bar A=\bar A^T f(E_2)^T$，注意 $f(E_2)^T$ 是 $f$ 在 ${\mathbb R^m}^*$ 中的坐标，因此该式表明在 $A^*$ 的作用下，$f$ 的坐标变换由矩阵 $\bar A^T$ 作用，即 $A^*$ 对应的矩阵是 $A$ 矩阵的转置。
1. 性质
定理 2
设 $A,B$ 是连续线性算子，则成立：
- $A^*$ 是线性的；
- $(A+B)^*=A^*+B^*$；
- $(\alpha A)^*=\alpha A^*$。
证明：由定义 1 ，
\begin{equation}
\begin{aligned}
A^*(\alpha f+\beta g)&=(\alpha f+\beta g)A\\
&=\alpha fA+\beta gA\\
&=\alpha A^*f+\beta A^*g.
\end{aligned}~
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
(A+B)^*(f)&=f(A+B)=fA+fB\\
&=A^*f+B^*f=(A^*+B^*)f.
\end{aligned}~
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\alpha A)^*(f)&=f(\alpha A)=\alpha fA=\alpha A^*f.
\end{aligned}~
\end{equation}
其中用到了 $f(\alpha A+\beta B)=\alpha fA+\beta fB$，这是因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\alpha A+\beta B)(x)&=f(\alpha A(x)+\beta B(x))\\
&=\alpha fA(x)+\beta fB(x)\\
&=(\alpha fA+\beta fB)(x).
\end{aligned}~
\end{equation}
证毕！
定理 3
若 $A$ 是赋范空间之间的有界线性算子，则
\begin{equation}
\left\lVert A^* \right\rVert = \left\lVert A \right\rVert .~
\end{equation}
证明：根据定理 1 和赋范空间满足第一可数性，可知线性有界算子必定是线性连续算子，因此线性有界算子可以讨论共轭性。根据算子范数的性质，
\begin{equation}
\left\lvert (A^*g,x) \right\rvert = \left\lvert (g,Ax) \right\rvert \leq \left\lVert g \right\rVert \cdot \left\lVert A \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert .~
\end{equation}
而
\begin{equation}
\left\lVert A^*g \right\rVert =\sup_{x\neq0} \frac{ \left\lvert (A^*g,x) \right\rvert }{ \left\lVert x \right\rVert }\leq \left\lVert g \right\rVert \cdot \left\lVert A \right\rVert .~
\end{equation}
因此，
\begin{equation}
\frac{ \left\lVert A^*g \right\rVert }{ \left\lVert g \right\rVert }\leq \left\lVert A \right\rVert \quad\Rightarrow\quad \left\lVert A^* \right\rVert =\sup_{g\neq0}\frac{ \left\lVert A^*g \right\rVert }{ \left\lVert g \right\rVert }\leq \left\lVert A \right\rVert .~
\end{equation}
设 $x\in E,Ax\neq0$。令 $y_0=\frac{Ax}{ \left\lVert Ax \right\rVert }\in E_1$。显然，$ \left\lVert y_0 \right\rVert =1$。由推论 1 ，存在全空间上的线性连续泛函 $g$，使得
\begin{equation}
\left\lVert g \right\rVert =1,(g,y_0)= \left\lVert y_0 \right\rVert =1.~
\end{equation}
即 $(g,Ax)= \left\lVert Ax \right\rVert $（由 $y_0$ 的定义）。因此
\begin{equation}
\left\lVert Ax \right\rVert =(g,Ax)= \left\lvert (A^*g,x) \right\rvert \leq \left\lVert A^* \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert .~
\end{equation}
和
式 12 得到
式 14 一样，有 $ \left\lVert A \right\rVert \leq \left\lVert A^* \right\rVert $。从而命题得证。
证毕！