逆算子

                     

贡献者: 零穹

预备知识 拓扑线性空间中的线性算子

   逆算子是双射的算子的逆。当算子可逆时,在某些情形下逆算子和算子有很多相同的性质,比如,线性算子的逆算子时线性的,而完备赋范空间之间的线性有界算子的逆是有界的。

定义 1 逆算子

   设 $D_A$ 是拓扑线性空间的子集,$A:D_A\rightarrow E_1$ 是其上的算子(映射),$ \operatorname{Im} A$ 是 $A$ 的象。其对任意 $y\in \operatorname{Im} A$,方程

\begin{equation} Ax=y~ \end{equation}
有唯一解,则称算子 $A$ 可逆。此时映射
\begin{equation} \operatorname{Im} A\rightarrow E,\quad Ax\mapsto x~ \end{equation}
称为 $A$ 的逆算子,记作 $A^{-1}$。

1. 性质

   下面定理表明,线性算子的逆算子是线性的。

定理 1 

   线性算子 $A$ 的逆算子 $A^{-1}$ 是线性的。

   证明: 任意 $ \operatorname{Im} A$ 中的 $y_1=A x_1,y_2=Ax_2$,因为

\begin{equation} A(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha Ax_1+\beta Ax_2=\alpha y_1+\beta y_2.~ \end{equation}
所以
\begin{equation} A^{-1}(\alpha y_1+\beta y_2)=\alpha x_1+\beta x_2=\alpha A^{-1}y_1+\beta A^{-1}y_2.~ \end{equation}

   证毕!

   下面定理表明,在完备赋范空间(Banach 空间)之间的线性有界算子的逆算子是有界的。

定理 2 逆算子的 Banach 定理

   设 $E,E_1$ 是完备赋范空间,$A$ 是 $E$ 到 $E_1$ 的线性有界算子,则其逆算子 $A^{-1}$ 有界

   为证明它,需要如下引理。

引理 1 

   设 $M$ 是 Banach 空间 $E$ 中的处处稠密集。则任意非零元 $y\in E$ 可展开成级数:

\begin{equation} y=y_1+\cdots+y_n+\cdots,~ \end{equation}
其中 $y_k\in M$ 且 $ \left\lVert y_k \right\rVert \leq 3 \left\lVert y \right\rVert /2^k$。

   证明:下面用逐次构造 $y_k$ 进行证明。选择 $y_1$ 使得

\begin{equation} \left\lVert y-y_1 \right\rVert \leq \left\lVert y \right\rVert /2.~ \end{equation}
这是一个半径为 $ \left\lVert y \right\rVert /2$ 中心在 $y$ 的球,由于 $M$ 在 $E$ 中处处稠密,因此在该球内任一点的邻域都有 $M$ 的点,因此这样的选择是可能的。

   同样由于 $M$ 在 $E$ 中处处稠密,可选 $y_n$ 使得 $ \left\lVert y-y_1-\cdots-y_n \right\rVert \leq \left\lVert y \right\rVert /2^n$。根据 $y^k$ 的选择,

\begin{equation} \left\lVert y-\sum_{k=1}^n y_k \right\rVert \rightarrow0.~ \end{equation}
即级数 $\sum_{k=1}^\infty y_k$ 收敛于 $y$。此外
\begin{equation} \begin{aligned} \left\lVert y_n \right\rVert =& \left\lVert y_n+y_{n-1}+\cdots+y_1-y+y-y_1-\cdots-y_{n-1} \right\rVert \\ \leq& \left\lVert y-y_1-\cdots-y_{n} \right\rVert + \left\lVert y-y_1\cdots-y_{n-1} \right\rVert \\ \leq& \left\lVert y \right\rVert /2^n+ \left\lVert y \right\rVert /2^{n-1}=3 \left\lVert y \right\rVert /2^n. \end{aligned}~ \end{equation}

   证毕!

   定理 2 的证明: 证明的思路是这样的:通过证明 $E_1$ 中存在稠密集,从而可由引理 1 展开 $E_1$ 的任意非零元 $y$,这一级数对应 $E$ 中的级数,然后证明级数收敛于某个 $x\in E$,进而由 $A$ 的线性和连续性可知 $Ax=y$,且 $x$ 的范数恒小于某个常数乘以对应的 $y$ 的范数,从而得到 $A^{-1}$ 有界。

   稠密集的构造:Baire 定理断定完备赋范空间不能表为可数无处稠密集的并,因此若能构造 $E_1$ 为可数个集的并,则这其中一定有一个集不是无处稠密的,即有一个集在某一球上稠密。由于 $\frac{ \left\lVert y \right\rVert }{ \left\lVert A^{-1}y \right\rVert }$ 对具体的 $y\in E_1$ 必定小于某个正整数,因此若令 $M_k$ 为所有满足 $ \left\lVert A^{-1}y \right\rVert \leq k \left\lVert y \right\rVert $ 的 $y\in E$ 的全体,则 $E_1=\bigcup\limits_{k=1}^\infty M_k$。即 $E_1$ 可表为可数集的并,因为可设其中的 $M_n$ 在某个球 $B$ 中稠密。

   在 $B$ 中选择中心在 $M_n$ 中的球层 $P$:满足不等式 $\beta< \left\lVert z-y_0 \right\rVert <\alpha$ 的 $z$ 的全体,其中 $0<\beta<\alpha,y_0\in M_n$。若把该球层中心移到原点便得球层 $P_0=\{z|0<\beta< \left\lVert z \right\rVert <\alpha\}$。下面将表明,有某个 $M_N$ 在 $P_0$ 中稠密,且在 $E_1$ 中稠密:设 $z\in P\cap M_n$,则 $z-y_0\in P_0$,且

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lVert A^{-1}(z-y_0) \right\rVert \leq& \left\lVert A^{-1}z \right\rVert + \left\lVert A^{-1}y_0 \right\rVert \leq n( \left\lVert z \right\rVert + \left\lVert y_0 \right\rVert )\\ \leq&n( \left\lVert z-y_0 \right\rVert +2 \left\lVert y_0 \right\rVert )\\ =&n \left\lVert z-y_0 \right\rVert \left(1+\frac{2 \left\lVert y_0 \right\rVert }{ \left\lVert z-y_0 \right\rVert } \right) \\ \leq& n \left\lVert z-y_0 \right\rVert (1+2 \left\lVert y_0 \right\rVert /\beta). \end{aligned}~ \end{equation}
量 $n(1+2 \left\lVert y_0 \right\rVert /\beta)$ 不依赖于 $z$。令 $N:=1+n[1+2 \left\lVert y_0 \right\rVert /\beta]$(其中 $[\cdot]$ 是高斯记号,表示一个数的整数部分)。因而由我们的构造 $z-y_0\in M_N$。进而由 $M_n$ 在 $P$ 中稠密知 $M_N$ 在 $P_0$ 中稠密($P\subset[M_n]\Rightarrow P_0=P-y_0\subset[M_n]-y_0\subset[M_N]$)。

   任意非零元 $y\in E_1$,总有 $\lambda$,使得 $\beta< \left\lVert \lambda y \right\rVert <\alpha$,即 $\lambda< P_0$。因为 $M_N$ 在 $P_0$ 中稠密,可以构造收敛于 $\lambda y$ 的序列 $y_k\in M_N$。于是序列 $\frac{1}{\lambda}y_k$ 收敛于 $y$。由于对任意的 $\lambda\neq0$,成立 $ \left\lVert A^{-1} \left(\frac{1}{\lambda}y_k \right) \right\rVert =\frac{1}{\lambda} \left\lVert A^{-1}y_k \right\rVert \leq\frac{1}{ \left\lvert \lambda \right\rvert }N \left\lVert y_k \right\rVert =N \left\lVert \frac{y_k}{\lambda} \right\rVert $,因此 $\frac{y_k}{\lambda}\in M_N$ 对任意的 $\lambda\neq0$ 成立。 这样一来,任意 $y\in E_1$ 都有 $M_N$ 的收敛到它序列,即 $y\in[M_N]$,从而 $E_1\subset [M_N]$。因此 $M_N$ 在 $E_1/0$ 中稠密,所以 $M_N$ 在 $E_1$ 中稠密($0\in M_N$)。

   级数收敛和算子有界:考虑非零元 $y\in E_1$,由引理 1

\begin{equation} y=\sum_{k=1}^\infty y_k,~ \end{equation}
其中 $ \left\lVert y_k \right\rVert <3 \left\lVert y \right\rVert /2^k$。令
\begin{equation} x_k:=A^{-1}y_k.~ \end{equation}

   因为

\begin{equation} \left\lVert x_k \right\rVert = \left\lVert A^{-1}y_k \right\rVert \leq N \left\lVert y_k \right\rVert <3N \left\lVert y \right\rVert /2^k,~ \end{equation}
所以 $\sum\limits_{k=m}^n x_k=3 \left\lVert y \right\rVert \frac{1}{2^{m-1}} \left(1-\frac{1}{2^{n-m+1}} \right) $,对充分大的 $N$,可使 $\sum\limits_{k=m}^n x_k$ 对任意 $n,m\geq N$ 成立,即 $\{s_n|s_n:=\sum\limits_{k=1}^n x_k\}$ 是柯西序列,由 $E$ 的完备性,级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty x_k$ 收敛到某一 $x$。从而由 $A$ 的连续性
\begin{equation} Ax=A\sum\limits_{n=1}^\infty x_k=\sum\limits_{n=1}^\infty Ax_k=y~. \end{equation}
此外
\begin{equation} \left\lVert A^{-1}y \right\rVert = \left\lVert x \right\rVert \leq\sum_{n=1}^\infty \left\lVert x_k \right\rVert =3N \left\lVert y \right\rVert .~ \end{equation}
因为上式对任意 $y\neq0$ 成立,因此算子 $A^{-1}$ 有界。

   证毕!

                     

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