贡献者： 零穹; Giacomo
线性算子是矢量空间上的线性映射。如果矢量空间本身还是一个赋范空间，那么线性算子空间不仅能在加法和数乘的定义下构成矢量空间（见线性算子代数），而且能在其上定义范数。下面我们约定 $V^* \equiv V - \{0\}$，其中 $0$ 为矢量空间 $V$ 的零矢量。
定义 1
设 $\mathcal A$ 是 $V$ 上的线性算子，则其范数定义为1
\begin{equation}
\left\lVert \mathcal A \right\rVert = \sup_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \mathcal Ax \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert } = \sup_{|x| = 1} \left\lvert \mathcal A x \right\rvert ~.
\end{equation}
其中 $ \left\lvert x \right\rvert \equiv\sqrt{(x,x)}$ 是矢量 $x$ 的范数, $(\cdot,\cdot)$ 是 $V$ 的内积。
它的几何意义恰好是算子 $\mathcal A$ 的最大伸缩系数(矢量模之比)。
未完成：紧空间上的连续实函数能取到最值
对于有限维度赋范空间来说，$\{x \in V \mid |x| = 1\}$ 是一个紧空间，因此 $ \left\lVert \mathcal A \right\rVert $ 总是有限，称为有界算子；无限维度赋范空间可以存在不有界的算子。结合两种情况，我们可以考虑有界算子的矢量空间，记做 $B(V)$。
例 1
试证明 $B(V)$ 是一个赋范空间（定义 1 ），即：
- $ \left\lVert \mathcal A \right\rVert \geq0$，且 $ \left\lVert \mathcal A \right\rVert =0$ 当且仅当 $ \left\lVert \mathcal A \right\rVert =\mathcal O$，$\mathcal O$ 为零算子（例 1 ）;
- $ \left\lVert \lambda \mathcal A \right\rVert = \left\lvert \lambda \right\rvert \left\lVert \mathcal A \right\rVert $;
- 三角不等式：$ \left\lVert \mathcal A+\mathcal B \right\rVert \leq \left\lVert \mathcal A \right\rVert + \left\lVert \mathcal B \right\rVert $。
此外，下面性质成立:
- $ \left\lVert \mathcal{AB} \right\rVert \leq{ \left\lVert \mathcal A \right\rVert } \left\lVert \mathcal B \right\rVert $。
证明：1. 由于 $ \left\lvert \mathcal A x \right\rvert \geq0$，且 $x\neq0\Rightarrow \left\lvert x \right\rvert >0$，所以
$ \left\lVert \mathcal A \right\rVert \geq0$。当 $\mathcal A=0$ 时 意味着 $\sup\limits_{x\in{V^*}} \left\lvert \mathcal A x \right\rvert =0\Rightarrow\mathcal A x=0$，即 $\mathcal A$ 将每个 $x$ 都映射为零矢量，于是 $\mathcal A=\mathcal O$。
2.$ \left\lVert \lambda\mathcal A \right\rVert =\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \lambda \mathcal Ax \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }=\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \lambda \right\rvert \left\lvert \mathcal Ax \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }= \left\lvert \lambda \right\rvert \sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \mathcal Ax \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }= \left\lvert \lambda \right\rvert \left\lVert \mathcal A \right\rVert
$。
3.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lVert \mathcal A+\mathcal B \right\rVert &=\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \mathcal Ax+\mathcal B x \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }\leq\sup\limits_{x\in{V^*}} \left(\frac{ \left\lvert \mathcal Ax \right\rvert + \left\lvert \mathcal B x \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert } \right) \\
&\leq \sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \mathcal Ax \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }+\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \mathcal B x \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }\\
&= \left\lVert \mathcal A \right\rVert + \left\lVert \mathcal B \right\rVert ~.
\end{aligned}
\end{equation}
4. 式 1 $\Rightarrow \left\lVert \mathcal A \right\rVert \geq\frac{ \left\lvert \mathcal Ax \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }\Rightarrow \left\lVert \mathcal A \right\rVert \left\lvert x \right\rvert \geq \left\lvert \mathcal A x \right\rvert $，于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lVert \mathcal{AB} \right\rVert &=\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert \mathcal{AB} x \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }\leq\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lVert \mathcal A \right\rVert \left\lvert \mathcal{B} x \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }\\
&\leq\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lVert \mathcal A \right\rVert \left\lVert \mathcal B \right\rVert \left\lvert x \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }= \left\lVert \mathcal A \right\rVert \left\lVert \mathcal B \right\rVert ~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕！
由矢量的模和度量的关系，$d(\mathcal A,\mathcal B)\equiv \left\lVert \mathcal{A-B} \right\rVert $ 构成了 $B(V)$ 的度量。
未完成：证明过程不够清晰
定理 1
赋予度量 $d$ 的线性算子空间构成一完备度量空间。
证明：我们只需要证明完备性（定义 3 ）即可。设 $A_i$ 是任一柯西序列，即对每一 $\epsilon>0$，存在 $N(\epsilon)>0$，使得只要 $m,k>N(\epsilon)$ 时就有 $d(\mathcal{A_m,A_k})<\epsilon$。对任意点 $x$，记 $x_i\equiv\mathcal A_i x$，于是对 $m,k>N(\epsilon/ \left\lvert x \right\rvert )$，就有
\begin{equation}
\left\lvert x_k-x_m \right\rvert \leq d(\mathcal{A_k,A_m}) \left\lvert x \right\rvert <\epsilon~.
\end{equation}
即点列 $x_i$ 也是柯西序列。但是 $V$ 是完备的（
），所以极限
\begin{equation}
y=\lim_{i\rightarrow\infty}x_i\in V~
\end{equation}
存在，由于 $y$ 线性依赖于 $x$，于是就有 $V$ 上的线性算子 $\mathcal A$ 存在，使得 $\mathcal Ax=y$。且对 $k>N'(\epsilon \left\lvert x \right\rvert )$
\begin{equation}
d(\mathcal{A_k,A})=\sup\limits_{x\in{V^*}}\frac{ \left\lvert x_k -y \right\rvert }{ \left\lvert x \right\rvert }\leq\epsilon~.
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathcal A=\lim_{k\rightarrow\infty}\mathcal A_k~.
\end{equation}
证毕！
1. ^ 取 $x \in V^*$，我们有 $\frac{ \left\lvert \mathcal A x \right\rvert } { \left\lvert x \right\rvert } = \left\lvert \mathcal{A} \frac{x}{ \left\lvert x \right\rvert } \right\rvert $，因此考虑非零向量等价于只考虑单位长度的向量。