线性算子的范数

                     

贡献者： 零穹; Giacomo

　　 线性算子是矢量空间上的线性映射。如果矢量空间本身还是一个赋范空间，那么线性算子空间不仅能在加法和数乘的定义下构成矢量空间（见线性算子代数），而且能在其上定义范数。下面我们约定 $V^{\ast }\equiv V-\{0\}$，其中 $0$ 为矢量空间 $V$ 的零矢量。

　　 它的几何意义恰好是算子 $\mathcal{A}$ 的最大伸缩系数(矢量模之比)。

　　

　　 对于有限维度赋范空间来说，$\{x\in V\mid |x|=1\}$ 是一个紧空间，因此 $\Vert \mathcal{A}\Vert$ 总是有限，称为有界算子；无限维度赋范空间可以存在不有界的算子。结合两种情况，我们可以考虑有界算子的矢量空间，记做 $B(V)$。

　　 证明：1. 由于 $\left|\mathcal{A}x\right|\ge 0$，且 $x\ne 0\Rightarrow \left|x\right|>0$，所以 $\Vert \mathcal{A}\Vert \ge 0$。当 $\mathcal{A}=0$ 时 意味着 $\underset{x\in V^{\ast }}{sup}\left|\mathcal{A}x\right|=0\Rightarrow \mathcal{A}x=0$，即 $\mathcal{A}$ 将每个 $x$ 都映射为零矢量，于是 $\mathcal{A}=\mathcal{O}$。

　　 2.$\Vert \lambda \mathcal{A}\Vert =\underset{x\in V^{\ast }}{sup}\frac{\left|\lambda \mathcal{A}x\right|}{\left|x\right|}=\underset{x\in V^{\ast }}{sup}\frac{\left|\lambda \right|\left|\mathcal{A}x\right|}{\left|x\right|}=\left|\lambda \right|\underset{x\in V^{\ast }}{sup}\frac{\left|\mathcal{A}x\right|}{\left|x\right|}=\left|\lambda \right|\Vert \mathcal{A}\Vert$。

　　 3.

　　 4. 式 1 $\Rightarrow \Vert \mathcal{A}\Vert \ge \frac{\left|\mathcal{A}x\right|}{\left|x\right|}\Rightarrow \Vert \mathcal{A}\Vert \left|x\right|\ge \left|\mathcal{A}x\right|$，于是

　　 证毕！

　　 由矢量的模和度量的关系，$d(\mathcal{A},\mathcal{B})\equiv \Vert \mathcal{A}\mathcal{-}\mathcal{B}\Vert$ 构成了 $B(V)$ 的度量。

　　

　　 证明：我们只需要证明完备性（定义 3 ）即可。设 $A_i$ 是任一柯西序列，即对每一 $ϵ>0$，存在 $N(ϵ)>0$，使得只要 $m,k>N(ϵ)$ 时就有 $d({\mathcal{A}}_{\mathcal{m}}\mathcal{,}{\mathcal{A}}_{\mathcal{k}})<ϵ$。对任意点 $x$，记 $x_i\equiv {\mathcal{A}}_{i}x$，于是对 $m,k>N(ϵ/\left|x\right|)$，就有

即点列 $x_i$ 也是柯西序列。但是 $V$ 是完备的（），所以极限 存在，由于 $y$ 线性依赖于 $x$，于是就有 $V$ 上的线性算子 $\mathcal{A}$ 存在，使得 $\mathcal{A}x=y$。且对 $k>N^{\prime }(ϵ\left|x\right|)$ 所以

　　 证毕！

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1. ^ 取 $x\in V^{\ast }$，我们有 $\frac{\left|\mathcal{A}x\right|}{\left|x\right|}=\left|\mathcal{A}\frac{x}{\left|x\right|}\right|$，因此考虑非零向量等价于只考虑单位长度的向量。