有界算子

贡献者：零穹

预备知识　有界集，拓扑线性空间中的线性算子

　　 [1] 拓扑线性空间的集可以定义有界性，相应的拓扑线性空间中的线性算子也可以定义有界性。

定义 1　有界算子

　　设 $E,E_1$ 是两个拓扑线性空间，$A:D_A\rightarrow E_1$ 是 $E$ 到 $E_1$ 的线性算子。若 $A$ 把 $E$ 的属于 $D_A$ 的每一有界集都映到 $E_1$ 的有界集，则称 $A$ 是有界的。

　　线性算子的有界性和连续性有着密切的联系，这可以由下面的定理看出。

定理 1　

　　 1.线性连续算子必有界；

　　 2.若 $A:E\rightarrow E_1$ 是线性有界算子，且 $E$ 满足第一可数性公理，则 $A$ 连续。

　　 证明：1. 令 $A:D_A\rightarrow E_1$ 是 $E$ 到 $E_1$ 上的线性连续算子。我们利用反证法证明：设 $M\subset D_A$ 是有界集，而 $AM\subset E_1$ 无界。那么存在 $E_1$ 中的零邻域 $V$，使得任意 $n>0$，都有 $ \left\lvert \lambda \right\rvert \geq n,AM\nsubseteq\lambda V$（定义 1 ）。即存在 $x\in M$，而 $Ax\nsubseteq \lambda V$。选取收敛于无穷大的正数序列 $\{m_i\}$，则存在 $ \left\lvert \lambda_i \right\rvert \geq m_i,x_i\in M$，使得

\begin{equation} Ax_i\nsubseteq \lambda_iM\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda_i}A x_i\nsubseteq V. ~ \end{equation}

因为 $\{\frac{1}{\lambda_i}\}$ 是收敛于 0 的正数列，而 $M$ 有界，所以 $\{\frac{1}{\lambda_i}x_i\}$ 收敛于 0（定理 1 第一点）。结合式 1 ，就有尽管 $\{\frac{1}{\lambda_i}x_i\}$ 收敛于 0，但是 $\{\frac{1}{\lambda_i}A x_i\}$ 不收敛于 0，因此 $A$ 不连续。这一矛盾表明 $AM$ 必有界。

　　 2.同样利用反证法，设 $A$ 不连续，则存在 $E_1$ 中的零邻域 $V$，使得任意 $E$ 的零邻域 $U$，都有 $x\in U,Ax\notin V$。选取 $E$ 的零邻域系 $\{U_n\}$，其中 $U_{n+1}\subset U_n$（因为第一可数性保证任意零邻域 $U_n$，都存在零邻域 $U_{n+1}$，使得 $U_{n+1}\subset U_n$），于是 $\frac{1}{n^2} U_n$ 是 $E$ 的零邻域（数乘的连续性）。因此存在 $x_n\in \frac{1}{n^2}U_n$，使得 $Ax_n\notin V\Rightarrow A (\frac{1}{n}y_n)\notin n V,y_n\in U_n$。

　　现在，我们证明 $\{(1/n) y_n\}$ 在 $E$ 中有界：任意零邻域 $U$，存在 $U_i\subset U$（$\{U_n\}$ 时确定邻域系）。又因为 $y_n\in U_n$，所以 $y_n\in U_n\subset U_i\subset U,n\geq i$，即 $\{y_n\}\rightarrow 0$。由引理 1 ，$\{t_ny_n\}\Rightarrow0$。由定理 1 第 2 点，$\{(1/n) y_n\}$ 在 $E$ 中有界。

　　 $\{(1/n) y_n\}$ 有界，而 $\{A(1/n y_n)\}$ 在 $E_1$ 中无界（因为它不属于零邻域 $V$），因此 $A$ 无界。此矛盾证明了命题。

　　 证毕！

　　该定理表明，在第一可数空间中，连续性等价于有界性。

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

有界算子

定义 1 有界算子

定理 1

定义 1　有界算子

定理 1　