贡献者： 零穹
在共轭空间中可以定义拓扑使之成为拓扑线性空间，一种最自然的方法就是从赋范空间获得启示，由之在共轭空间上定义的拓扑便是强拓扑。
1. 赋范空间中的强拓扑
由例 1 可知，赋范空间是一个拓扑线性空间，因此其上自然由线性连续泛函的定义。而赋范空间上根据
\begin{equation}
\left\lVert f \right\rVert :=\sup_{x\neq0}\frac{ \left\lvert f(x) \right\rvert }{ \left\lVert x \right\rVert }~
\end{equation}
可引入线性连续泛函的范数，证明
式 1 满足
范数的定义和
例 1 的证明完全一样。因此赋范空间的共轭空间可赋予赋范空间的自然结构。范数可以用来定义度量，度量有一个自然定义开集的方式，即在赋范空间上有一个自然定义的拓扑，在赋范空间的共轭空间中这样定义的拓扑就是强拓扑。
定义 1 强拓扑
设 $E$ 是赋范空间，则其共轭空间 $E^*$ 上由式 1 定义的范数相应的拓扑称为 $E^*$ 的强拓扑。
当希望把 $E^*$ 当作赋范空间时，我们将其写作 $(E^*, \left\lVert * \right\rVert )$。
定理 1
设 $E$ 是赋范空间，则 $(E^*, \left\lVert * \right\rVert )$ 是完备的。
证明：设 $\{f_n\}$ 是线性连续泛函的柯西序列（定义 1 ）。那么对任意 $\epsilon>0$，存在 $N$，使得对所有的 $n,m>N$ 有 $ \left\lVert f_n-f_m \right\rVert <\epsilon$。由此，对任意 $x\in E$ 得到
\begin{equation}
\left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert \leq \left\lVert f_n-f_m \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert <\epsilon \left\lVert x \right\rVert ,~
\end{equation}
即对任意 $x\in E$，数列 $\{f_n(x)\}$ 收敛（$ \left\lVert x \right\rVert $ 是某一确定的实数，而 $\epsilon$ 任意）。
令 $f(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$。则由
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\alpha x+\beta y)=&\lim_{n\rightarrow\infty}(\alpha x+\beta y)\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty} \left[\alpha f_n(x)+\beta f_n(y) \right] \\
=&\alpha f(x)+\beta f(y),
\end{aligned}~
\end{equation}
得 $f$ 是线性的。此外，取
式 2 的 $m\rightarrow\infty$，则
\begin{equation}
\left\lvert f(x)-f_n(x) \right\rvert \leq \epsilon \left\lVert x \right\rVert .~
\end{equation}
由此得 $f-f_n$ 有界（$ \left\lVert x \right\rVert $ 有限，$\epsilon>0$ 任意）。因而 $f=f_n+(f-f_n)$ 有界（$\{f_n(x)\}$ 对任意 $x$ 收敛）。由
定理 3 ，$f$ 连续。另外，由
式 4 得 $ \left\lVert f-f_n \right\rVert \leq\epsilon$，即 $\{f_n\}$ 收敛于 $f$。
证毕！
该定理表明，无论赋范空间是否完备，其共轭空间都完备。
定理 2
若赋范空间 $E$ 不完备，而 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间，则 $E^*,\bar{E}^*$ 同构。
证明： 因为 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间，所以对任一 $x\in \bar{E}$，存在 $E$ 中的收敛于 $x$ 的序列 $\{x_n\}$（由定理 1 ，它是柯西序列）。设 $f$ 是 $E$ 上的线性连续泛函，则 $\{f(x_n)\}$ 是柯西数列，因而必收敛（实数集上的柯西序列必收敛），定义 $\bar f(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)$，则 $\bar f$ 就是 $f$ 在 $\bar E$ 上的连续延拓。
该延拓是唯一的，否则存在 $x\in \bar E\backslash E$，使得 $\bar f(x)\neq g(x)$，而由 $E$ 中收敛到 $x$ 的柯西序列 $\{x_n\}$，恒有 $\bar f(x_n)=g(x_n)$，取极限就是 $\bar f(x)=g(x)$，这一矛盾就说明连续延拓是唯一的。显然 $\bar f\in(\bar E)^*$，且 $ \left\lVert \bar f \right\rVert = \left\lVert f \right\rVert $（由式 1 推得）。
另外，任一 $(\bar E)^*$ 中的线性连续泛函是其在 $E$ 上限制得到的泛函的延拓，因此，映射 $f\mapsto\bar f$ 是 $E$ 到 $(\bar E)^*$ 的同构映射。事实上，$f\mapsto\bar f$ 的线性性质可通过
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f(x_n)+g(x_n)-(\bar f(x)+\bar g(x))\\
&=(f(x_n)-\bar f(x))+(g(x_n)-\bar g(x))\\
&<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon
\end{aligned}~
\end{equation}
获得。
证毕！
2. 拓扑线性空间的强拓扑
我们看到，赋范空间中的强拓扑是由于式 1 定义了其共轭空间上的范数引进的。在强拓扑下，赋范空间的共轭空间也是拓扑线性空间。赋范空间的共轭空间的零邻域自然定义为满足条件
\begin{equation}
\left\lVert f \right\rVert <\epsilon~
\end{equation}
的泛函的集合。
由式 1 $ \left\lVert f \right\rVert \left\lVert x \right\rVert \geq \left\lvert f(x) \right\rvert ,x\neq0$。因此，零邻域的定义相当于说：当 $x$ 遍历单位球 $ \left\lVert x \right\rVert =1$ 时，我们把 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon$ 的线性泛函取为赋范空间的共轭空间的零邻域。取所有可能的 $\epsilon$，便得到确定零邻域系1。由于拓扑线性空间的拓扑由零邻域系完全确定（定理 1 ），所以这一确定零邻域系给出了赋范空间的共轭空间的拓扑。
对应到一般的拓扑线性空间 $E$，单位球面自然被任意有界集 $A$ 代替，而 $E^*$ 的零邻域则定义为满足 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon,x\in A$ 的线性泛函的集合。
定义 2 共轭空间的零邻域
设 $E^*$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间，$A\subset E$ 中的有界集，$\epsilon>0$ 是任一数，则称
\begin{equation}
U_{\epsilon,A}=\{f|f\text{是 $E$ 的线性连续泛函且} \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon\}~
\end{equation}
是 $E^*$ 的（在 $A$ 上的 $\epsilon$）
零邻域。
类似的，采用不同的 $\epsilon,A$，变得到了共轭空间中的确定零邻域系，它们可以确定共轭空间的拓扑，这一拓扑称为共轭空间的强拓扑。
定义 3 强拓扑
设 $E^*$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间，$A\subset E$ 中的有界集。则称
\begin{equation}
\{U_{\epsilon,A}|A\text{有界},\epsilon>0\}~
\end{equation}
确定的 $E^*$ 上的拓扑为 $E^*$ 的
强拓扑。
定理 3 强拓扑满足第一分离公理与局部凸
$E^*$ 的强拓扑必定满足第一分离公理 $T_1$ 和局部凸性。
1. ^ 即任一包含零的开集，都有该邻域系的一个包含在该开集中，由于范数定义的开集必然包含某一开球，所以文中所有可能的 $\epsilon$ 对应的系确实是确定邻域系