贡献者： 零穹
[1] 拓扑线性（或拓扑向量）空间的拓扑空间性质表明其上映射的连续性具有基本的重要性，而其线性空间性表明线性映射具有基本的重要性。因此，拓扑线性空间上的线性连续映射具有基本的重要性。特别，对拓扑线性空间上的泛函，线性连续泛函具有基本的重要性。
定义 1 连续
设 $f$ 是拓扑线性空间 $E$ 上的线性泛函。若对任意 $x_0\in E,0<\epsilon\in\mathbb R$，存在 $x_0$ 的邻域 $U$，使得 $x\in U$ 就有
\begin{equation}
\left\lvert f(x)-f(x_0) \right\rvert <\epsilon,~
\end{equation}
则称 $f$ 是
线性连续泛函。
一般定义映射的连续，往往是先定义映射在一点的连续。然而上面的定义是对每一点都连续，而没有事先定义在一点的连续。事实上，在拓扑线性空间中，线性映射在一点连续必定在全空间连续。这由下面的定理指定。
定理 1 在一点处连续的线性泛函处处连续
设线性泛函 $f$ 在某一点 $x\in E$ 处连续，则 $f$ 必定在 $E$ 上处处连续。
证明：由定理 1 ，设 $U$ 是 $x$ 的满足式 1 的邻域，于是 $U-x$ 是零邻域，从而 $V=U-x+y=U+(y-x)$ 是（任一点）$y$ 的邻域。因此，若 $z\in V$，则 $z+x-y\in U$，进而
\begin{equation}
\left\lvert f(z)-f(y) \right\rvert = \left\lvert f(z-y+x)-f(x) \right\rvert <\epsilon.~
\end{equation}
即验证线性泛函在点 $y$ 的连续性，只需要验证在某一点 $x$ 的连续性即可。
证毕！
定理 2 有限维的线性泛函必连续
设 $E$ 是有限维的拓扑向量空间，则 $E$ 中的任何线性泛函必定连续。
证明：设 $e_1,\cdots,e_n$ 是 $E$ 的基矢，于是对任意 $\epsilon>0$，要
\begin{equation}
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n\Delta x_0^i f(e_i)<\epsilon,\quad\Delta x^i=x^i-x^i_0~
\end{equation}
只需取 $\sum_{i=1}^n\Delta x_0^i<\frac{\epsilon}{M}$ 即可，其中 $M=\max\{ \left\lvert f(e_i) \right\rvert \}_{i=1,\cdots,n}$。从而 $x_0$ 的邻域可以这样选择：由于 $ \left\lVert x-x_0 \right\rVert \leq\sum_{i=1}^n \left\lvert \Delta x_0^i \right\rvert \left\lVert e_i \right\rVert \leq m\sum_{i=1}^n \left\lvert \Delta x_0^i \right\rvert $，其中 $m=\max\{ \left\lVert e_i \right\rVert \}_{i=1,\cdots,n}$。因此只需选择 $x_0$ 的 $\frac{\epsilon}{Mm}$ 开球邻域，则
式 3 成立。
证毕！
定理 3
拓扑线性空间 $E$ 上线性泛函 $f$ 连续的充要条件是：存在 $E$ 中零邻域，使得 $f$ 在该邻域上有界。
证明：必要性：设 $f$ 在点 0 连续，则由线性泛函连续的定义，那么对任意 $\epsilon>0$，存在零邻域，在该邻域上 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon$（注意 $f(0)=0$）。
充分性：设 $U$ 是使得 $f$ 有界的零邻域，即 $ \left\lvert f(U) \right\rvert < C$，$C$ 是某一正数。并设 $\epsilon>0$，则 $\frac{\epsilon}{C}U$ 是这样的零邻域，在其上 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon$。即 $f$ 在点 0 处连续，于是由定理 1 ，$f$ 在 $E$ 上处处连续。
证毕！
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版