线性连续泛函

                     

贡献者： 零穹

　　 [1] 拓扑线性（或拓扑向量）空间的拓扑空间性质表明其上映射的连续性具有基本的重要性，而其线性空间性表明线性映射具有基本的重要性。因此，拓扑线性空间上的线性连续映射具有基本的重要性。特别，对拓扑线性空间上的泛函，线性连续泛函具有基本的重要性。

　　 一般定义映射的连续，往往是先定义映射在一点的连续。然而上面的定义是对每一点都连续，而没有事先定义在一点的连续。事实上，在拓扑线性空间中，线性映射在一点连续必定在全空间连续。这由下面的定理指定。

　　 证明：由定理 1 ，设 $U$ 是 $x$ 的满足式 1 的邻域，于是 $U-x$ 是零邻域，从而 $V=U-x+y=U+(y-x)$ 是（任一点）$y$ 的邻域。因此，若 $z\in V$，则 $z+x-y\in U$，进而

即验证线性泛函在点 $y$ 的连续性，只需要验证在某一点 $x$ 的连续性即可。

　　 证毕！

　　 证明：设 $e_1,\cdots ,e_n$ 是 $E$ 的基矢，于是对任意 $ϵ>0$，要

只需取 $\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_0^i<\frac{ϵ}{M}$ 即可，其中 $M=max\{|f(e_i)|{\}}_{i=1,\cdots ,n}$。从而 $x_0$ 的邻域可以这样选择：由于 $\Vert x-x_0\Vert \le \sum _{i=1}^n\left|\mathrm{\Delta }{x}_0^i\right|\Vert e_i\Vert \le m\sum _{i=1}^n\left|\mathrm{\Delta }{x}_0^i\right|$，其中 $m=max\{\Vert e_i\Vert {\}}_{i=1,\cdots ,n}$。因此只需选择 $x_0$ 的 $\frac{ϵ}{Mm}$ 开球邻域，则式 3 成立。

　　 证毕！

　　 证明：必要性：设 $f$ 在点 0 连续，则由线性泛函连续的定义，那么对任意 $ϵ>0$，存在零邻域，在该邻域上 $|f(x)|<ϵ$（注意 $f(0)=0$）。

　　 充分性：设 $U$ 是使得 $f$ 有界的零邻域，即 $|f(U)|<C$，$C$ 是某一正数。并设 $ϵ>0$，则 $\frac{ϵ}{C}U$ 是这样的零邻域，在其上 $|f(x)|<ϵ$。即 $f$ 在点 0 处连续，于是由定理 1 ，$f$ 在 $E$ 上处处连续。

　　 证毕！

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[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版