线性泛函的保范延拓

贡献者：零穹

预备知识　线性泛函的延拓，赋范空间

　　由一般线性泛函延拓的Hahn-Banach 定理，可以得到赋范空间中线性泛函延拓定理的表述，进而很容易得到，赋范空间中，定义在子空间上的线性泛函可以保范的延拓到整个空间上去。详情见下文。

1. 保范延拓

定理 1　

　　设 $L$ 是实赋范空间 $E$ 的子空间， $f_{0}$ 是 $L$ 上的有界线性泛函，则存在 $f_{0}$ 在 $E$ 上的保范延拓 $f$ ，即 ${‖ f ‖}_{E} = {‖ f_{0} ‖}_{L}, f (x) = f_{0} (x), x \in L$ 。

　　 证明：令 $k = {‖ f_{0} ‖}_{L}$ ，则 $k ‖ x ‖$ 是齐次凸泛函。由于 $| f_{0} (x) | \leq k ‖ x ‖$ ，根据 Hahn-Banach 延拓定理，存在 $f_{0}$ 的在 $E$ 上延拓 $f$ ，使得 $f (x) \leq k ‖ x ‖$ 。进而

\begin{matrix} (1) & {‖ f ‖}_{E} = sup_{x \neq 0} \frac{| f (x) |}{‖ x ‖} \leq sup_{x \neq 0} \frac{k ‖ x ‖}{‖ x ‖} = k = {‖ f_{0} ‖}_{L} . \end{matrix}

　　又 ${‖ f ‖}_{E} \geq {‖ f_{0} ‖}_{L}$ （因为它们在 $L$ 上一致，由范数定义得到该式），所以 ${‖ f ‖}_{E} = {‖ f_{0} ‖}_{L}$ 。

　　 证毕！

推论 1　

　　设 $x_{0}$ 是赋范空间 $X$ 中的非零元素，则在 $X$ 上存在线性连续泛函 $f$ ，使得

\begin{matrix} (2) & ‖ f ‖ = 1, f (x_{0}) = ‖ x_{0} ‖ . \end{matrix}

　　 证明：定义在由 $x_{0}$ 生成的一维子空间上的线性泛函 $f_{0} (α x_{0}) = α ‖ x_{0} ‖$ ，由定理 1 ，它可保范延拓到整个 $X$ 上的泛函 $f$ ，且

\begin{matrix} (3) & ‖ f ‖ = ‖ f_{0} ‖ = 1, f (x_{0}) = f_{0} (x_{0}) = ‖ x_{0} ‖ . \end{matrix}

　　 证毕！