线性泛函的保范延拓
贡献者： 零穹
由一般线性泛函延拓的Hahn-Banach 定理，可以得到赋范空间中线性泛函延拓定理的表述，进而很容易得到，赋范空间中，定义在子空间上的线性泛函可以保范的延拓到整个空间上去。详情见下文。
1. 保范延拓
定理 1
设 $L$ 是实赋范空间 $E$ 的子空间，$f_0$ 是 $L$ 上的有界线性泛函，则存在 $f_0$ 在 $E$ 上的保范延拓 $f$，即 $ \left\lVert f \right\rVert _{E}= \left\lVert f_0 \right\rVert _{L},f(x)=f_0(x),x\in L$。
证明：令 $k= \left\lVert f_0 \right\rVert _{L}$，则 $k \left\lVert x \right\rVert $ 是齐次凸泛函。由于 $ \left\lvert f_0(x) \right\rvert \leq k \left\lVert x \right\rVert $，根据 Hahn-Banach 延拓定理，存在 $f_0$ 的在 $E$ 上延拓 $f$，使得 $f(x)\leq k \left\lVert x \right\rVert $。进而
\begin{equation}
\left\lVert f \right\rVert _E=\sup_{x\neq0}\frac{ \left\lvert f(x) \right\rvert }{ \left\lVert x \right\rVert }\leq\sup_{x\neq0}\frac{k \left\lVert x \right\rVert }{ \left\lVert x \right\rVert }=k= \left\lVert f_0 \right\rVert _L.~
\end{equation}
又 $ \left\lVert f \right\rVert _E\geq \left\lVert f_0 \right\rVert _L$（因为它们在 $L$ 上一致，由范数定义得到该式），所以 $ \left\lVert f \right\rVert _{E}= \left\lVert f_0 \right\rVert _{L}$。
证毕！
推论 1
设 $x_0$ 是赋范空间 $X$ 中的非零元素，则在 $X$ 上存在线性连续泛函 $f$，使得
\begin{equation}
\left\lVert f \right\rVert =1,f(x_0)= \left\lVert x_0 \right\rVert .~
\end{equation}
证明：定义在由 $x_0$ 生成的一维子空间上的线性泛函 $f_0(\alpha x_0)=\alpha \left\lVert x_0 \right\rVert $，由定理 1 ，它可保范延拓到整个 $X$ 上的泛函 $f$，且
\begin{equation}
\left\lVert f \right\rVert = \left\lVert f_0 \right\rVert =1,\quad f(x_0)=f_0(x_0)= \left\lVert x_0 \right\rVert .~
\end{equation}
证毕！