共轭空间与代数共轭空间

引理 1　

　　 设 $L$ 是线性空间，则其上的线性泛函的全体在下面的加法和数乘之下构成一个线性空间：

　　 加法： $(f_1+f_2)(x):=f_1(x)+f_2(x)$；

　　 数乘： $(\alpha f)(x):=\alpha f(x)$。

定义 1　共轭空间

　　 设 $E$ 是拓扑线性空间，则其上的全体线性连续泛函在引理 1 的加法和数乘下构成的线性空间称为与 $E$ 共轭的空间，记为 $E^{\ast }$。

定义 2　代数共轭空间

　　 在拓扑线性空间上所有（不一定连续）线性泛函的全体在引理 1 的加法和数乘下构成的线性空间称为与 $E$ 代数共轭的空间，记为 $E^{\mathrm{\#}}$。