贡献者: addis; DTSIo; Giacomo
赋范线性空间都具有度量
巴拿赫空间上有界算子的定义与赋范空间中一样。不过,在泛函分析中,也常常需要考虑不一定有界的线性算子。一般来说,对于两个巴拿赫空间 $X,Y$,泛函分析中最经常考虑的是稠定算子(densely defined operator),即定义在 $X$ 的某个稠密子空间上的线性算子 $T$。这个稠密子空间称为算子的定义域,常记为 $\text{Dom}(T)$。稠定算子不一定可以延拓为全空间上的有界算子。如果算子 $T_1$ 是算子 $T$ 的延拓,即 $\text{Dom}(T)\subset \text{Dom}(T_1)$ 且在 $\text{Dom}(T)$ 上有 $T_1=T$,则写 $T\subset T_1$。
对于巴拿赫空间 $X,Y$ 之间的(不一定有界的)线性算子 $T$,其图像(graph)定义为 $X\times Y$ 的子空间 $$ \text{G}(T):=\{(x,Tx):x\in \text{Dom}(T)\}~. $$ 在 $\text{Dom}(T)$ 上定义的范数 $[|x|]_T:=\|x\|_X+\|Tx\|_Y$ 称为图像范数(graph norm)。如果 $\text{G}(T)$ 是闭子空间,则称算子 $T$ 为闭算子(closed operator)。如果存在延拓 $T_1\supset T$ 使得 $T_1$ 为闭算子,则 $T$ 称为可闭化(closable) 的。闭图像定理(Closed graph theorem)说明:在巴拿赫空间上,定义于全空间的闭算子是有界的。谱理论就是针对闭算子展开的。
赋范线性空间在度量空间的意义下经过完备化之后成为巴拿赫空间。完备的赋范空间在赋以等价范数后还是完备的。可分的赋范线性空间的完备化空间还是可分的。
一个赋范空间 $(X,\|\cdot\|)$ 是完备的,当且仅当由 $\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty $ 总可以推出 $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ 按照范数收敛。
如果 $(X,\|\cdot\|_X),(Y,\|\cdot\|_Y)$ 是巴拿赫空间,那么其直积 $X\times Y$ 在范数 $\|(x,y)\|_{p}$ 之下也是巴拿赫空间。有界线性算子空间 $\mathfrak{B}(X,Y)$ 在算子范数下也是巴拿赫空间。如果 $X$ 巴拿赫空间,$M\subset X$ 是其闭子空间,则商空间 $X/M$ 在商范数之下也是巴拿赫空间。这里用到的定义见 “赋范空间”。
无穷维巴拿赫空间的代数维数(即其中极大线性无关向量组的势)一定是不可数的。这是因为,如果 $\{x_k\}\subset X$ 是任何序列,则若命 $X_n$ 是 $\{x_1,...,x_n\}$ 张成的子空间,那么每个 $X_n$ 都是真闭子空间。按照贝尔纲定理,它们的并集是第一纲集,但巴拿赫空间作为完备度量空间是第二纲集,所以不可能有 $X=\bigcup_n X_n$。
无穷维巴拿赫空间中的闭单位球 $\{\|x\|\leq1\}$ 在其范数拓扑下一定不是紧的。详见里斯引理。