用极值点大致确定函数图像

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预备知识　导数与函数的极值

　　许多时候，我们可以通过函数极值点的位置以及种类确定函数的大致图像。

例 1　

　　求以下函数的极值点，并判断该函数的大致图像

\begin{equation} f(x) = a + \frac{b}{2} x^2 - \frac{c}{4} x^4 + \frac{d}{6} x^6 \quad (a,b,c,d >0)~. \end{equation}

图 1：导数 $f'(x)$ 与原函数 $f(x)$

　　先对函数求导，得

\begin{equation} f'(x) = bx - c x^3 + d x^5~. \end{equation}

这是一个 $5$ 次多项式，最多可能有五个零点。但由于多项式只有奇数项，不难解出可能的根。

\begin{equation} bx + c x^3 + d x^5 = x[b + c(x^2) + d(x^2)^2 ]~. \end{equation}

所以其中一个解是 $x = 0$，而 $b + c(x^2) + d (x^2)^2$ 是关于 $x^2$ 的二次方程，当判别式 $\Delta = c^2 - 4bd$ 大于零时，$x^2$ 存在两个大小不等的正根，姑且记为 $x_1^2$ 和 $x_1^2$，$x_1 < x_2$。此时五个根分别为 $0, \pm x_1, \pm x_2$。

\begin{equation} f'(x) = d \cdot x (x^2 - x_2^2) (x^2 - x_2^2) = d \cdot x (x + x_1)(x - x_1)(x + x_1)(x - x_2)~. \end{equation}

由于 $d > 0$，可以大致画出 $f'(x)$ 图像如图 1 （下）。

　　用二阶导数判断分类。若二阶导数为正，则是极小值，若为负，则是极大值，若为零，则是鞍点。