极坐标中的速度和加速度

贡献者：待更新

预备知识　极坐标中单位矢量的偏导

　　若已知某点的极坐标关于时间的函数 $r (t)$ 和 $θ (t)$ ，求该点的速度和加速度。

　　极坐标中的位置矢量可以用 $r = r \hat{r}$ 表示，注意其中径向单位矢量可以看做复合函数 $\hat{r} [θ (t)]$ 。根据定义，速度是位矢的一阶导数，在力学中经常在变量上面加一点表示对时间的一阶导数，两点表示二阶导数，根据矢量的求导法则

\begin{matrix} (1) & v = \dot{r} \hat{r} + r \frac{d \hat{r}}{d t} . \end{matrix}

由链式法则和式 1 ，上式中

\begin{matrix} (2) & \frac{d \hat{r}}{d t} = \frac{d \hat{r}}{d θ} \dot{θ} = \dot{θ} \hat{θ}, \end{matrix}

所以极坐标中的速度为

\begin{matrix} (3) & v = \dot{r} \hat{r} + r \dot{θ} \hat{θ} . \end{matrix}

这是符合直觉的，径向速度等于位矢模长的导数，而角向速度等于位矢模长乘以角速度。

　　我们再来计算加速度，用同样的方法对速度求一阶导数得

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} a & = \ddot{r} \hat{r} + \dot{r} \frac{d \hat{r}}{d t} + \dot{r} \dot{θ} \hat{θ} + r \ddot{θ} \hat{θ} + r \dot{θ} \frac{d \hat{θ}}{d t} \\ = \ddot{r} \hat{r} + \dot{r} \dot{θ} \hat{θ} + \dot{r} \dot{θ} \hat{θ} + r \ddot{θ} \hat{θ} - r {\dot{θ}}^{2} \hat{r} \\ = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) \hat{r} + (2 \dot{r} \dot{θ} + r \ddot{θ}) \hat{θ} \end{aligned}, \end{matrix}

这个结论并不是那么显而易见。我们将加速度的径向和角向分量分别记为

a_{r}

和

a_{θ}

，其中

a_{θ}

还可以记为另一种更紧凑形式即

\begin{matrix} (5) & a_{θ} = \frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} \frac{d θ}{d t}) . \end{matrix}