极坐标系

贡献者： addis

预备知识　平面直角坐标系，位置矢量，四象限 Arctan 函数

图 1：极坐标系和两个单位矢量

　　平面上的极坐标系如图 1 ，在平面上上取一个点作为原点，过原点作一条轴称为极轴，并选定极轴的正方向，规定单位长度。该平面上某点与原点连成的线段叫做极径，其长度一般用 $r$（或 $\rho$）表示。若 $r$ 为负值，则表示反方向的长度。极径与极轴的夹角叫做极角（规定逆时针旋转极角增加，顺时针旋转则减少），用 $\theta $ 表示。$\theta$ 的值通常表示成弧度，取值范围一般选 $(-\pi, \pi]$ 或 $[0, 2\pi)$。于是任何一点都可以用两个有序实数 $(r,\theta)$ 来表示其在该平面上的位置，这就是一个点的极坐标。

　　为了表示一个坐标对应的单位矢量，我们一般把坐标变量名记为粗体并在上方加一个标记。例如直角坐标系中，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $（有时也记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{i}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{j}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $）代表 $x,y,z$ 轴方向的单位矢量。在极坐标中，定义 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为 $r$ 增加的方向的单位矢量，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 为 $\theta$ 坐标增加方向的单位矢量（即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 逆时针旋转 $\pi/2$ 的方向）。$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 互相垂直，构成一对单位正交基底，平面上的任意矢量都可以正交分解到这两个方向上。我们通常把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的方向叫做径向（法向），把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的方向叫做切向。要注意极坐标中的两个单位矢量是 $\theta$ 的函数，对于不同的 $\theta$，它们的方向也不同。

习题 1　

　　试证明极坐标方程 $r = r_0/ \cos\left(\theta - \theta_0\right) $ 和 $r = 2R \cos\left(\theta - \theta_0\right) $ 分别表示一条直线和一个圆。

1. 与直角坐标的转换

　　要在极坐标系的基础上建立一个直角坐标系，习惯的做法是取原点相同，且令 $x$ 轴与极轴重合，$y$ 轴取 $\theta = \pi/2$ 的方向。这样将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 展开，就得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~, \end{equation}

即

\begin{equation} \begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases}~. \end{equation}

这样就从极坐标转换成为直角坐标。

　　要从直角坐标转换为极坐标，首先由勾股定理有 $r^2 = x^2 + y^2$。使用反正切函数，我们可以表示 $x >0$ 或 $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ 时的 $\theta$，即 $\theta = \arctan\left(y/x\right) $。为了表示任意情况我们可以使用 $ \operatorname{Arctan} $ 函数式 1 。这样，从直角坐标转到极坐标的转换就可以表示为

\begin{equation} \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta = \operatorname{Arctan} (y, x) \end{cases}~. \end{equation}

根据 $ \operatorname{Arctan} $ 的定义（式 1 ），$\theta$ 的范围是 $(-\pi, \pi]$。