开普勒第一定律的证明

贡献者： addis

预备知识 1　开普勒三定律

　　行星轨道是以中心天体为焦点的任意圆锥曲线¹。开普勒第一定律一般使用极坐标讲解，圆锥曲线的极坐标方程为

\begin{equation} r = \frac{p}{1 - e \cos \theta }~. \end{equation}

令中心天体固定在坐标原点，则行星沿该轨道运行。

　　下面给出两种证明方式，第一种 LRL 矢量法偏物理，无需使用微分方程，相对简单。第二种在极坐标中解二阶微分方程，即比耐公式。

1. 用 LRL 矢量证明

预备知识 2　拉普拉斯—龙格—楞次矢量，三矢量的混合积

　　将拉普拉斯—龙格—楞次（LRL）矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 点乘位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - mkr~. \end{equation}

由矢量混合积式 2 ，右边第一项为

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = L^2~, \end{equation}

令 $\theta$ 为从 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ 转向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的夹角（令极轴与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 平行，如图 1 ），则式 2 变为

图 1：LRL 矢量与位置矢量夹角

\begin{equation} Ar\cos\theta = L^2 - mkr~. \end{equation}

可得极坐标中的轨道为圆锥曲线的极坐标方程²

\begin{equation} r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta}~, \end{equation}

其中通径为 $p = L^2/(mk)$，离心率为 $e = A/(mk)$。

2. 用比耐公式证明

预备知识 3　比耐公式

　　将平方反比力 $F(r) = -k/r^2$ 即 $F(1/u) = -ku^2$ 代入比耐公式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F \left(\frac 1u \right) ~. \end{equation}

该二阶非齐次微分方程的通解为

\begin{equation} u(\theta) = \frac{1}{p} \left[1 - e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] ~, \end{equation}

其中

\begin{equation} p = \frac{L^2}{mk}~, \end{equation}

将式 7 代入 $r = 1/u$，得到圆锥曲线式 1 。证毕。

另一种推导

　　在开普勒问题中，相互作用势为 $V(\rho)=-GMm/\rho=-k/\rho$。那么式 8 变为

\begin{equation} \begin{aligned} \left|\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right|&=\sqrt{-u^2+\frac{2m k}{L^2}u+\frac{2m E}{L^2}}\\ &=\sqrt{- \left(u-\frac{m k}{L^2} \right) ^2+\frac{2m E}{L^2}+\frac{m^2 k^2}{L^4}}~. \end{aligned} \end{equation}

该一阶偏微分方程的解的形式为

\begin{equation} u-\frac{m k}{L^2}=\alpha \cos\left(\phi-\beta\right) ~, \end{equation}

可以解得

\begin{equation} \begin{aligned} \alpha=\sqrt{\frac{2m E}{L^2}+\frac{m^2 k^2}{L^4}}~,\\ \end{aligned} \end{equation}

这样就求得了 $u$ 关于 $\phi$ 的表达式。最后将 $u$ 用 $\rho=1/u$ 表示，得到

\begin{equation} \rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) }~, \end{equation}

其中 $e$ 为轨道的偏心率（或者称离心率）。$p,e$ 由下式给出：

\begin{equation} \begin{aligned} &p=\frac{L^2}{m k}\\ &e=\frac{L^2}{m k}\alpha=\sqrt{1+\frac{2L^2E}{m k^2}} \end{aligned}~. \end{equation}

　　根据圆锥曲线的极坐标方程，可以知道开普勒问题的轨道呈椭圆、抛物线或双曲线形状。

3. 平方反比斥力

　　当有心力从引力变为斥力时，令 $F(r) = k/r^2$ 即 $F(1/u) = ku^2$ 代入比耐公式，解得

\begin{equation}u(\theta) = -\frac{1}{p} \left[1 + e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] ~. \end{equation}

与式 7 相比，中的常数项由正号变为负号，这使得极坐标的双曲线方程表达双曲线离焦点较远的一支（见式 4 ）。

1. ^ 行星轨道不一定是椭圆，也可以是抛物线或者双曲线，但是抛物线或双曲线轨道是从无穷远来到无穷远去的轨道，不会绕中心天体旋转。所以开普勒定律作为行星运动的经验公式，只描述了椭圆。
2. ^ 对比式 1 会发现分母的正负号反了，这相当于把圆锥曲线旋转了 $180^\circ$，并不影响形状。