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平面旋转矩阵

预备知识 矩阵

   平面旋转变换属于线性变换,可以用矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _2$ 表示.虽然我们可以直接把变换写成矩阵乘以列矢量的形式,但这里我们用另一种方法推导一次, 能更好地帮助理解和记忆.

   已知单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = (1, 0) ^{\mathrm{T}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = (0, 1) ^{\mathrm{T}} $ 逆时针旋转 $\theta$ 为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ \sin \theta\end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix} \end{equation}
要求任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = (v_1, v_2) ^{\mathrm{T}} $ 的旋转矩阵, 可以将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 表示成 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 的线性组合(式 1 ) $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $. 由式 17 , 该线性组合的旋转变换等于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 分别做旋转变换再做同样的线性组合, 即
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \left(v_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) &= v_1 \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_2 \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ &= v_1 \begin{pmatrix}\cos \theta \\ \sin \theta\end{pmatrix} + v_2 \begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\v_2\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}
所以旋转矩阵为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix} \end{equation}
这与平面旋转变换得出的结果一致.

   把这个推导推广到一般情况, 就是如果已知每个基底 $ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i$ 的线性变换(记变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $)结果为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i$, 那么变换矩阵的第 $i$ 列就是第 $i$ 个列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i$.

主动和被动理解

   我们将任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的旋转变换记为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \boldsymbol{\mathbf{v}} $, 我们把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 看做是二维空间中某矢量关于基底 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 的坐标. 若我们把 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $ 看做是另一矢量关于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 的坐标, 那么 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} $ 就等于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $ 逆时针旋转 $\theta$ 角. 旋转矩阵的这种理解被称为主动的.

   另一种可能的理解是, $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 代表二维空间中的同一矢量关于不同基底的展开. 我们把 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $ 使用的基底记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2$, $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 使用的基底记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2$. 我们有

\begin{equation} u_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1 + u_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2 = v_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1 + v_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2 \end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _2$ 的矩阵元记为 $R_{ij}$, 不难证明两组基底之间的关系为
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1 = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1 + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2 \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2 = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1 + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2 \end{aligned}\right. \end{equation}
将矩阵元代入可知, 基底 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2$ 分别是基底 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2$ 顺时针旋转 $\theta$ 角所得. 我们把这种理解叫做被动的, 即旋转矩阵表示同一个矢量的基底变换

逆矩阵

   我们既可以使用平面旋转变换中求逆变换的方法把 $\theta$ 变为 $-\theta$ 再化简求出 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _2$ 的逆矩阵,也可以通过解方程求逆矩阵(式 28 ). 但最方便的是,由于 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _2$ 是一个单位正交阵, 我们只需要把矩阵转置即可得到逆矩阵.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} _2^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 ^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \\ -\sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix} \end{equation}

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