牛顿运动定律、惯性系

                     

贡献者: addis

预备知识 1 牛顿运动定律(高中),力的合成与分解,速度的参考系变换

   牛顿的三定律可表述如下,为了避免讨论物体的质心及转动,这里我们只讨论质点。

1. 第一定律

   牛顿第一定律的作用是定义惯性坐标系(inertial frame of reference,简称惯性系):定义满足牛顿第一定律的参考系就是惯性系,且惯性系存在。

推论 1 推论

   相对某惯性系静止或匀速运动且没有相对转动的参考系也是惯性系,否则不是惯性系。

   证明:若已知 $A$ 系为惯性系,$B$ 系相对 $A$ 系的平移速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}$,质点在两系中的瞬时速度分别记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _A, \boldsymbol{\mathbf{v}} _B$,则由高中的 “绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度”(式 1 )得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{B} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{A} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}~. \end{equation}
由于 $A$ 是惯性系,所以任何不受力的质点 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{A}$ 都不随时间变化。若 $B$ 与 $A$ 之间静止或匀速运动且没有相对转动,那么相对速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}$ 也不随时间变化,所以任何不受力的质点在 $B$ 中的速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{B}$ 也不随时间变化,所以 $B$ 也是惯性系。但若两系之间有任何相对的加速度(包括转动和加速平移),那么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{AB}$ 将随时间或位置变化,也就不能保证对任意的不受力质点 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _B$ 都不随时间变化,所以 $B$ 系就不是惯性系。

2. 第二定律

预备知识 2 牛顿第二定律的矢量形式

   牛顿第二定律只能在惯性系中使用,在非惯性系中需要用惯性力 对合力进行修正才能成立。用矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 表示合力,牛顿第二定律记为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} ~. \end{equation}
高中物理只强调圆周运动和直线运动,所以一般 $F$ 和 $a$ 都记为标量,请读者不要局限在高中思维。这是一条矢量表达式,加速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 是位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 关于时间的二阶导数,或者速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 关于时间的导数。加速度和速度不必共线也不必垂直。

动量定理

   牛顿本人对第二定律的表述使用了动量定理,记质点的动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $,则

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}
在经典力学中,由于质量不发生变化,式 2 式 3 是等效的,但令人惊讶的是,牛顿所用的形式在狭义相对论中仍然成立1,而式 2 却不成立。

3. 第三定律

   广义来说,牛顿第三定律就是动量守恒定律。牛顿第三定律在任何参考系中都适用,但是要注意两点。第一,在非惯性系中,由于惯性力作为一个数学上的修正,并不是真正的力,所以不存在反作用力。第二,在考虑电磁力时,由于电磁场可能具有动量,所以动量守恒定律要求所有物体与电磁场的动量之和守恒,而不仅仅是质点的总动量守恒。在考虑两带电粒子的相互作用力时,若假设粒子的运动速度较慢,则磁场可以忽略,电磁场动量始终为零,此时两粒子的总动量守恒,相互作用力等大反向。


1. ^ 在狭义相对论中,动量的定义有所不同。


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