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正交曲线坐标系

预备知识 柱坐标系, 球坐标系, 矢量内积, 矢量的导数 求导法则

柱坐标系

   我们先来分析柱坐标系1, 位置矢量 $\uvec r$ 在直角坐标系中展开为

\begin{equation} \bvec r(r, \theta, z) = r\cos\theta\, \uvec x + r\sin\theta\, \uvec y + z\uvec z \end{equation}
柱坐标系中三个单位矢量 $\uvec r, \uvec \theta, \uvec z$ 的方向被定义为每个坐标增加时 $\bvec r$ 增加的方向, 即以下偏导数的方向
\begin{equation} \leftgroup{ \pdvStarTwo{\bvec r}{r} &= \cos\theta\, \uvec x + \sin\theta\, \uvec y\\ \pdvStarTwo{\bvec r}{\theta} &= -r\sin\theta\, \uvec x + r \cos\theta\, \uvec y\\ \pdvStarTwo{\bvec r}{z} &= \uvec z }\end{equation}
将这三个矢量归一化, 就得到三个单位矢量
\begin{equation} \leftgroup{ \uvec r &= \cos\theta\, \uvec x + \sin\theta\, \uvec y\\ \uvec \theta &= -\sin\theta\, \uvec x + \cos\theta\, \uvec y\\ \uvec z &= \uvec z }\end{equation}

   可见柱坐标系和直角坐标系中的 $\uvec z$ 相同, 而 $\uvec r, \uvec \theta$ 分别是 $\uvec x, \uvec y$ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 角所得. 所以尽管柱坐标系中的三个单位矢量的方向取决于坐标, 但它们始终两两垂直.

   我们把单位矢量始终保持两两垂直的坐标系叫做正交曲线坐标系, 或简称为曲线坐标系. 我们熟知的直角坐标系显然就是一个正交曲线坐标系, 稍后我们会看到球坐标系也是正交曲线坐标系.

   现在我们可以将式 1 式 2 用柱坐标中的三个单位矢量来表示.

\begin{gather} \bvec r = r\uvec r + z\uvec z\\ \pdvTwo{\bvec r}{r} = \uvec r \qquad \pdvTwo{\bvec r}{\theta} = r\uvec \theta \qquad \pdvTwo{\bvec r}{z} = \uvec z \end{gather}
与极坐标的情况 类似, 将式 3 对 $\theta$ 求偏导可以得到单位矢量的偏导
\begin{equation} \pdvTwo{\uvec r}{\theta} = \uvec \theta \qquad \pdvTwo{\uvec \theta}{\theta} = -\uvec r \qquad \pdvTwo{\uvec z}{\theta} = \bvec 0 \end{equation}
根据式 5 和矢量函数的全微分, 柱坐标系中一段微小位移可记为
\begin{equation} \dd{\bvec r} = \pdvTwo{\bvec r}{r}\dd{r} + \pdvTwo{\bvec r}{\theta}\dd{\theta} + \pdvTwo{\bvec r}{z}\dd{z} = \dd{r}\uvec r + r\dd{\theta} \uvec \theta + \dd{z} \uvec z \end{equation}

球坐标系

   球坐标系中, 位置矢量可以表示为

\begin{equation} \bvec r = r \uvec r = r\sin\theta\cos\phi\,\uvec x + r\sin\theta\sin\phi\,\uvec y + r\cos\theta\uvec z \end{equation}
同样, 球坐标系的三个单位矢量由三个坐标增加的方向确定
\begin{equation} \leftgroup{ \pdvStarTwo{\bvec r}{r} &= \sin\theta\cos\phi\,\uvec x + \sin\theta\sin\phi\,\uvec y + \cos\theta\,\uvec z\\ \pdvStarTwo{\bvec r}{\theta} &= r\cos\theta\cos\phi\,\uvec x + r\cos\theta\sin\phi\,\uvec y - r\sin\theta\,\uvec z\\ \pdvStarTwo{\bvec r}{\phi} &= -r\sin\theta\sin\phi\,\uvec x + r\sin\theta\cos\phi\,\uvec y }\end{equation}
归一化得三个单位矢量为
\begin{equation} \leftgroup{ \uvec r &= \sin\theta\cos\phi\,\uvec x + \sin\theta\sin\phi\,\uvec y + \cos\theta\,\uvec z\\ \uvec \theta &= \cos\theta\cos\phi\,\uvec x + \cos\theta\sin\phi\,\uvec y - \sin\theta\,\uvec z\\ \uvec\phi &= -\sin\phi\,\uvec x + \cos\phi\,\uvec y }\end{equation}
不难验证这三个单位矢量两两间内积为零, 即两两垂直, 所以球坐标系也属于正交曲线坐标系. 对比式 9 式 10 , 有
\begin{equation} \pdvTwo{\bvec r}{r} = \uvec r \qquad \pdvTwo{\bvec r}{\theta} = r\uvec \theta \qquad \pdvTwo{\bvec r}{\phi} = r\sin\theta\,\uvec\phi \end{equation}
所以位置矢量的微分可以表示为
\begin{equation} \dd{\bvec r} = \dd{r}\uvec r + r\dd{\theta} \uvec \theta + r\sin\theta\dd{\phi}\uvec \phi \end{equation}


1. 由于极坐标系可以看做柱坐标系 $z = 0$ 的情况, 我们不单独讨论

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