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正交曲线坐标系

预备知识 柱坐标系, 球坐标系, 矢量内积, 矢量的导数 求导法则

柱坐标系

   我们先来分析柱坐标系1, 位置矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 在直角坐标系中展开为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (r, \theta, z) = r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
柱坐标系中三个单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的方向被定义为每个坐标增加时 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 增加的方向, 即以下偏导数的方向
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} &= \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} &= -r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned}\right. \end{equation}
将这三个矢量归一化, 就得到三个单位矢量
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = -\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{cases} \end{equation}

   可见柱坐标系和直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 相同, 而 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 分别是 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 角所得. 所以尽管柱坐标系中的三个单位矢量的方向取决于坐标, 但它们始终两两垂直.

   我们把单位矢量始终保持两两垂直的坐标系叫做正交曲线坐标系, 或简称为曲线坐标系. 我们熟知的直角坐标系显然就是一个正交曲线坐标系, 稍后我们会看到球坐标系也是正交曲线坐标系.

   现在我们可以将式 1 式 2 用柱坐标中的三个单位矢量来表示.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

   与极坐标的情况 类似, 将式 3 对 $\theta$ 求偏导可以得到单位矢量的偏导

\begin{equation} \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \qquad \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} }{\partial \theta} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \qquad \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} }{\partial \theta} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
根据式 5 和矢量函数的全微分, 柱坐标系中一段微小位移可记为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} \,\mathrm{d}{z} = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \,\mathrm{d}{z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

球坐标系

   球坐标系中, 位置矢量可以表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = r\sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + r\cos\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
同样, 球坐标系的三个单位矢量由三个坐标增加的方向确定
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} &= \sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} &= r\cos\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\cos\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \phi} &= -r\sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{aligned}\right. \end{equation}
归一化得三个单位矢量为
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = -\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{cases} \end{equation}
不难验证这三个单位矢量两两间内积为零, 即两两垂直, 所以球坐标系也属于正交曲线坐标系. 对比式 9 式 10 , 有
\begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \phi} = r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
所以位置矢量的微分可以表示为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}


1. 由于极坐标系可以看做柱坐标系 $z = 0$ 的情况, 我们不单独讨论

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