椭圆坐标系、椭球坐标系

                     

贡献者： 零穹; addis

1. 椭圆坐标系

　　¹ 二维平面上的椭圆坐标系（elliptic coordinate system）是一个正交曲线坐标系，它是三种三维正交曲线坐标系定义的基础，这三种正交曲线坐标系为：椭圆柱坐标系（elliptic cylindrical coordinate system）、长椭球坐标系（ellipsoidal coordinate system）和扁椭球坐标系（oblate spheroidal coordinate system）。椭圆坐标系的坐标线为共焦的椭圆和双曲线，椭圆柱坐标系由椭圆坐标系沿垂直于椭圆坐标面的方向投影得到；长（短）椭球坐标系是将椭圆坐标系绕椭圆长（短）轴方向旋转得到。

　　 椭圆坐标系上点的位置由 $(\xi ,\eta )$ 这 2 个有序实数表示。$\xi$ 的等值曲线为一组共焦椭圆族，焦距为 $2c$；$\eta$ 的等值曲线为一组共焦的双曲线族，其焦点与椭圆族焦点相重。$\xi$、$\eta$ 由直角坐标定义

其中 $\xi \ge 0,0\le \eta <2\pi$。

　　 若令图 1 的横轴和纵轴为直角坐标的 $x,y$ 轴，容易看出椭圆和双曲线的方程分别为

可得椭圆的离心率为 $e=1/\cosh \xi$，双曲线的离心率为 $e=1/|\cos \eta |$。

　　 容易证明椭圆坐标系是一个正交曲线坐标系。在某点 $\mathbf{r}$ 处，坐标轴 $\xi$ 和 $\eta$ 的方向分别为 $\partial \mathbf{r}/\partial \xi$ 和 $\partial \mathbf{r}/\partial \eta$。 由式 1

则

　　 令椭圆坐标轴 $\xi$、$\eta$ 对应的单位矢量分别为 $\hat{\mathit{\xi }}$、$\hat{\mathit{\eta }}$，由式 1

易求得 $\hat{\mathit{\xi }}\mathbf{\cdot }\hat{\mathit{\eta }}=0$, 即椭圆坐标系 $(\xi ,\eta ,z)$ 为正交曲线坐标系。

2. 椭圆柱坐标系

　　 椭圆柱坐标系是在椭圆坐标系的基础上增加一垂直于椭圆坐标面的 $z$ 坐标得到，空间一点坐标用 3 个有序数 $(\xi ,\eta ,z)$ 表示。同样，若用直角坐标系定义椭圆柱坐标系，则

其中 $\xi \ge 0,0\le \eta <2\pi ,-\mathrm{\infty }<z<+\mathrm{\infty }$。

　　 显然，式 2 、式 3 成立。现在情况变成：$\xi$ 的等值曲面为一组共焦椭圆柱面族，而 $\eta$ 的等值曲面为一组共焦的双曲柱面族，$z$ 的等值面为椭圆坐标面。

　　 只增加垂直于椭圆坐标面的坐标轴 $z$ 意味着，椭圆柱坐标系是一个正交曲线坐标系。其单位矢量为

坐标按 $(\xi ,\eta ,z)$ 排序是由于 $\hat{\mathit{\xi }}\mathbf{\times }\hat{\mathit{\eta }}=\hat{\mathbf{z}}$（类比直角坐标系 $(x,y,z)$ 中 $\hat{\mathbf{x}}\mathbf{\times }\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}$）。

　　 以下为了方便书写，令

3. 长椭球坐标系

　　 设二维椭圆坐标系定义在 $xOz$ 平面上，椭圆长轴与 $z$ 轴重合。将椭圆坐标系绕着 $z$ 轴旋转，便可得到长椭球坐标系（而绕 $x$ 轴旋转则得到扁椭球坐标系。不过，在扁椭球坐标系的情况我们仍选择 $z$ 轴为旋转轴，而将焦点置于 $x$ 轴上）。我们将另一坐标记为 $\varphi$.

　　 现在，情况是这样的：$\xi$ 的等值曲面为旋转椭球面，$\eta$ 的等值曲面为双叶旋转双曲面。由旋转对称性知，任一过旋转轴 $z$ 轴的平面都是椭圆坐标面（因为该平面与原来的椭圆坐标面等价），那么正交性要求 $\varphi$ 坐标线必是垂直于旋转轴 $z$ 轴的平面与旋转椭球面的交线。即 $\varphi$ 等值面为一组过旋转轴 $z$ 轴的半平面。这意味着，$\varphi$ 等值面用直角坐标表示为

$f(\varphi )$ 是 $\varphi$ 等值面与 $xOy$ 面的交线与 $x$ 轴夹角的正切值，注意坐标零点选取的任意性，那么可取该夹角即为 $\varphi$，则 要该式永远成立，必有

　　 $\xi$ 和 $\eta$ 的等值面用直角坐标可表示为

其中，$\xi \ge 0,0\le \eta <\pi$。$\eta$ 取值为 $[0,\pi )$ 而非 $[0,2\pi )$ 是因为长椭球坐标系应理解为半个椭圆坐标系（$\eta \in [0,\pi )$）绕 $z$ 轴旋转 $2\pi$ 得到。

　　 式 13 第一式两边乘 $1/{\sin }^2\eta$，第二式两边乘 $1/{\sinh }^2\xi$，再相加可消去 $x^2+y^2$ 的项，从而解得

解得的 $z$ 再代入式 13 ，得到 式 12 又要求 比较式 15 和式 16 ，得 式 17 代入式 12 ，求得

　　 综上，长椭球坐标系与直角坐标系有如下关系

其中，$\xi \ge 0,0\le \eta <\pi ,0\le \varphi <2\pi$.

　　 当然，这是一个正交曲线坐标系，因为我们正是由正交性条件得到的式 19 。

　　 与椭圆坐标系和椭圆柱坐标系求单位矢量的方法一样，我们得到下面的结果

4. 扁椭球坐标系

　　 扁椭球坐标系是由长轴在 $x$ 轴，椭圆坐标面在 $xOz$ 面中的椭圆坐标系绕 $z$ 轴旋转得到的。由此可知，椭圆坐标系的两个焦点，变为一个半径为 $c$ 的圆，包含于三维空间的 $xOy$ 平面。称这圆为焦圆，又称为参考圆。

　　 与长椭球坐标系一样的做法，我们可得到扁椭球坐标系与直角坐标系的关系

其中，$\xi \ge 0,-\frac{\pi }{2}\le \eta <\frac{\pi }{2},-\pi \le \varphi <\pi$。这里，$\varphi$ 取 $[-\pi ,<\pi )$ 只不过是将 $\varphi$ 坐标的起点选为 $-\pi$.

　　 扁椭球坐标系中坐标的单位矢量为

5. 椭圆柱、长（扁）椭球坐标系中的矢量算符

　　 我们先来求三个正交曲线坐标系的拉梅系数 $|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|(i=1,2,3)$，其中 $q_i$ 为坐标系的 3 个坐标。由式 7 ，得椭圆柱坐标系的拉梅系数

由式 19 ，得长椭球坐标系的拉梅系数 由式 21 ，得扁椭球坐标系的拉梅系数

椭圆柱坐标系中的矢量算符

　　 结合式 4 到式 8 ，注意这里，$u=\xi ,v=\eta ,w=z,H_{\xi }=f,H_{\eta }=g,H_z=h$，得

长椭球坐标系中的矢量算符

　　 这里，$u=\xi ,v=\eta ,w=\varphi ,H_{\xi }=f,H_{\eta }=g,H_{\varphi }=h$，同样有

扁椭球坐标系中的矢量算符

　　 同样的，这里有

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1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。