椭圆坐标系

             

贡献者: 零穹; addis

  • 3D 图
预备知识 椭圆的三种定义,双曲线的三种定义,正交曲线坐标系

1. 椭圆坐标系

  1 二维平面上的椭圆坐标系(elliptic coordinate system)是一个正交曲线坐标系,它是三种三维正交曲线坐标系定义的基础,这三种正交曲线坐标系为:椭圆柱坐标系(elliptic cylindrical coordinate system)长椭球坐标系(ellipsoidal coordinate system)扁椭球坐标系(oblate spheroidal coordinate system).椭圆坐标系的坐标线为共焦的椭圆和双曲线,椭圆柱坐标系由椭圆坐标系沿垂直于椭圆坐标面的方向投影得到;长(短)椭球坐标系是将椭圆坐标系绕椭圆长(短)轴方向旋转得到.

图
图 1:平面椭圆坐标系(来自 Wikipedia)

   椭圆坐标系上点的位置由 $(\xi,\eta)$ 这 2 个有序实数表示.$\xi$ 的等值曲线为一组共焦椭圆族,焦距为 $2c$;$\eta$ 的等值曲线为一组共焦的双曲线族,其焦点与椭圆族焦点相重.$\xi$、$\eta$ 由直角坐标定义

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x=c\cosh\xi\cdot\cos\eta\\ &y=c\sinh\xi\cdot\sin\eta \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $\xi\geq0,0\leq\eta < 2\pi$.

   若令图 1 的横轴和纵轴为直角坐标的 $x, y$ 轴,容易看出椭圆和双曲线的方程分别为

\begin{equation} \frac{x^2}{c^2\cosh^2\xi}+\frac{y^2}{c^2\sinh^2\xi}=1 \end{equation}
\begin{equation} \frac{x^2}{c^2\cos^2\eta}-\frac{y^2}{c^2\sin^2\eta}=1 \end{equation}
可得椭圆的离心率为 $e = 1/\cosh \xi$,双曲线的离心率为 $e = 1/ \left\lvert \cos \eta \right\rvert $.

   容易证明椭圆坐标系是一个正交曲线坐标系.在某点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处,坐标轴 $\xi$ 和 $\eta$ 的方向分别为 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi $ 和 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta $. 由式 1

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \,\mathrm{d}{x} =c\sinh\xi\cdot\cos\eta \,\mathrm{d}{\xi} -c\cosh\xi\cdot\sin\eta \,\mathrm{d}{\eta} \\ & \,\mathrm{d}{y} =c\cosh\xi\cdot\sin\eta \,\mathrm{d}{\xi} +c\sinh\xi\cdot\cos\eta \,\mathrm{d}{\eta} \\ \end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi =c\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +c\cosh\xi\cdot\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ & \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta =-c\cosh\xi\cdot\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +c\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \end{aligned}\right. \end{equation}

   令椭圆坐标轴 $\xi$、$\eta$ 对应的单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} $、$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} $,由式 1

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi |}=\frac{1}{\alpha} \left(\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\cdot\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\ & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta |}=\frac{1}{\alpha} \left(-\cosh\xi\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\ \end{aligned}\right. \end{equation}
易求得 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} = 0$, 即椭圆坐标系 $(\xi,\eta,z)$ 为正交曲线坐标系.

2. 椭圆柱坐标系

   椭圆柱坐标系是在椭圆坐标系的基础上增加一垂直于椭圆坐标面的 $z$ 坐标得到,空间一点坐标用 3 个有序数 $(\xi,\eta,z)$ 表示.同样,若用直角坐标系定义椭圆柱坐标系,则

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x=c\cosh\xi\cdot\cos\eta\\ &y=c\sinh\xi\cdot\sin\eta\\ &z=z \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $\xi\geq0,0\leq\eta < 2\pi,-\infty < z < +\infty$.

   显然,式 2 式 3 成立.现在情况变成:$\xi$ 的等值曲面为一组共焦椭圆柱面族,而 $\eta$ 的等值曲面为一组共焦的双曲柱面族,$z$ 的等值面为椭圆坐标面.

   只增加垂直于椭圆坐标面的坐标轴 $z$ 意味着,椭圆柱坐标系是一个正交曲线坐标系.其单位矢量为

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi |}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}} \left(\sinh\xi\cdot\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\cdot\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\ & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta |}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}} \left(-\cosh\xi\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cdot\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\ & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial z }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial z |}= \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned}\right. \end{equation}
坐标按 $(\xi,\eta,z)$ 排序是由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $(类比直角坐标系 $(x,y,z)$ 中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $).

   以下为了方便书写,令

\begin{equation} \alpha \equiv \sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \end{equation}

3. 长椭球坐标系

   设二维椭圆坐标系定义在 $xOz$ 平面上,椭圆长轴与 $z$ 轴重合.将椭圆坐标系绕着 $z$ 轴旋转,便可得到长椭球坐标系(而绕 $x$ 轴旋转则得到扁椭球坐标系.不过,在扁椭球坐标系的情况我们仍选择 $z$ 轴为旋转轴,而将焦点置于 $x$ 轴上).我们将另一坐标记为 $\phi$.

   现在,情况是这样的:$\xi$ 的等值曲面为旋转椭球面,$\eta$ 的等值曲面为双叶旋转双曲面.由旋转对称性知,任一过旋转轴 $z$ 轴的平面都是椭圆坐标面(因为该平面与原来的椭圆坐标面等价),那么正交性要求 $\phi$ 坐标线必是垂直于旋转轴 $z$ 轴的平面与旋转椭球面的交线.即 $\phi$ 等值面为一组过旋转轴 $z$ 轴的半平面.这意味着,$\phi$ 等值面用直角坐标表示为

\begin{equation} y=f(\phi)x \end{equation}
$f(\phi)$ 是 $\phi$ 等值面与 $xOy$ 面的交线与 $x$ 轴夹角的正切值,注意坐标零点选取的任意性,那么可取该夹角即为 $\phi$,则
\begin{equation} y\cos\phi = x\sin\phi\quad(0\geq\phi < 2\pi) \end{equation}
要该式永远成立,必有
\begin{equation} y = g(\xi,\eta)\sin\phi,\quad x = g(\xi,\eta)\cos\phi \end{equation}

   $\xi$ 和 $\eta$ 的等值面用直角坐标可表示为

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{z^2}{c^2\cosh^2\xi}+\frac{x^2+y^2}{c^2\sinh^2\xi}=1\\ \frac{z^2}{c^2\cos^2\eta}-\frac{x^2+y^2}{c^2\sin^2\eta}=1 \end{aligned} \end{equation}
其中,$\xi\geq 0,0\leq\eta < \pi$.$\eta$ 取值为 $[0,\pi)$ 而非 $[0,2\pi)$ 是因为长椭球坐标系应理解为半个椭圆坐标系($\eta\in[0,\pi)$)绕 $z$ 轴旋转 $2\pi$ 得到.

   式 13 第一式两边乘 $1/\sin^2\eta$,第二式两边乘 $1/\sinh^2\xi$,再相加可消去 $x^2+y^2$ 的项,从而解得

\begin{equation} z=c\cosh\xi\cos\eta \end{equation}
解得的 $z$ 再代入式 13 ,得到
\begin{equation} x^2+y^2=c^2\sinh^2\xi\sin^2\eta \end{equation}
式 12 又要求
\begin{equation} x^2+y^2=g^2(\xi,\eta) \end{equation}
比较式 15 式 16 ,得
\begin{equation} g(\xi,\eta)=c\sinh\xi\sin\eta \end{equation}
式 17 代入式 12 ,求得
\begin{equation} \begin{aligned} x=c\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\ y=c\sinh\xi\sin\eta\sin\phi \end{aligned} \end{equation}

   综上,长椭球坐标系与直角坐标系有如下关系

\begin{equation} \begin{aligned} &x=c\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\ &y=c\sinh\xi\sin\eta\sin\phi\\ &z=c\cosh\xi\cos\eta \end{aligned} \end{equation}
其中,$\xi\geq 0,0\leq\eta < \pi,0\leq\phi < 2\pi$.

   当然,这是一个正交曲线坐标系,因为我们正是由正交性条件得到的式 19

   与椭圆坐标系和椭圆柱坐标系求单位矢量的方法一样,我们得到下面的结果

\begin{equation} \begin{aligned} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{1}{\alpha} \left(\cosh\xi\sin\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\sin\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} +\sinh\xi\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) \\ & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{1}{\alpha} \left(\sinh\xi\cos\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} -\cosh\xi\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) \\ & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} =\frac{1}{\sqrt{2}\sinh\xi\sin\eta} \left(-\sinh\xi\sin\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\sin\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \end{aligned} \end{equation}

4. 扁椭球坐标系

   扁椭球坐标系是由长轴在 $x$ 轴,椭圆坐标面在 $xOz$ 面中的椭圆坐标系绕 $z$ 轴旋转得到的.由此可知,椭圆坐标系的两个焦点,变为一个半径为 $c$ 的圆,包含于三维空间的 $xOy$ 平面.称这圆为焦圆,又称为参考圆

   与长椭球坐标系一样的做法,我们可得到扁椭球坐标系与直角坐标系的关系

\begin{equation} \begin{aligned} &x=c\cosh\xi\cos\eta\cos\phi\\ &y=c\cosh\xi\cos\eta\sin\phi\\ &z=c\sinh\xi\sin\eta \end{aligned} \end{equation}
其中,$\xi\geq 0,-\frac{\pi}{2}\leq\eta < \frac{\pi}{2},-\pi\leq\phi < \pi$.这里, $\phi$ 取 $[-\pi, < \pi)$ 只不过是将 $\phi$ 坐标的起点选为 $-\pi$.

   扁椭球坐标系中坐标的单位矢量为

\begin{equation} \begin{aligned} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{1}{\alpha} \left(\sinh\xi\cos\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} +\cosh\xi\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) \\ & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{1}{\alpha} \left(-\cosh\xi\sin\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} -\cosh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} +\sinh\xi\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) \\ & \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} =\frac{1}{\sqrt{2}\cosh\xi\cos\eta} \left(-\cosh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\cos\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \end{aligned} \end{equation}

5. 椭圆柱、长(扁)椭球坐标系中的矢量算符

预备知识 正交曲线坐标系中的矢量算符

   我们先来求三个正交曲线坐标系的拉梅系数 $\Big| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial q_i \Big|\;(i=1,2,3)$,其中 $q_i$ 为坐标系的 3 个坐标.由式 7 ,得椭圆柱坐标系的拉梅系数

\begin{equation} H_\xi=H_\eta=c\alpha \quad \quad H_z=1 \end{equation}
式 19 ,得长椭球坐标系的拉梅系数
\begin{equation} H_\xi=H_\eta=c\alpha \quad \quad H_\phi=\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta \end{equation}
式 21 ,得扁椭球坐标系的拉梅系数
\begin{equation} H_\xi=H_\eta=c\alpha \quad \quad H_\phi=\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta \end{equation}

椭圆柱坐标系中的矢量算符

   结合式 4 式 8 ,注意这里,$u=\xi,v=\eta,w=z,H_\xi=f,H_\eta=g,H_z=h$,得

\begin{equation} \boldsymbol\nabla s = \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \xi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} + \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \eta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} + \frac{\partial s}{\partial z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = &\frac{1}{c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) }\Bigg[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} (c\alpha A_\xi) \\&+ \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(c\alpha A_\eta \right) + \frac{\partial}{\partial{z}} \left(c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) A_z \right) \Bigg] \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{1}{c\alpha} \left[ \frac{\partial}{\partial{\eta}} A_z - \frac{\partial}{\partial{z}} \left(c\alpha A_\eta \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\ &\quad + \frac{1}{c\alpha} \left[ \frac{\partial}{\partial{z}} \left(c\alpha A_\xi \right) - \frac{\partial}{\partial{\xi}} A_z \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} + \\ &\frac{1}{c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(c\alpha A_\eta \right) - \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(c\alpha A_\xi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 s = \frac{1}{c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left( \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\xi}^{2}} + \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\eta}^{2}} \right) + \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{z}^{2}} \end{equation}

长椭球坐标系中的矢量算符

   这里,$u=\xi,v=\eta,w=\phi,H_\xi=f,H_\eta=g,H_\phi=h$,同样有

\begin{equation} \boldsymbol\nabla s = \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \xi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} + \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \eta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} + \frac{1}{\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta} \frac{\partial s}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = &\frac{1}{c\sinh\xi\sin\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) }\Bigg[\sin\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\sinh\xi\alpha A_\xi) \\&+ \sinh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sin\eta\alpha A_\eta \right) + \frac{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}{\sqrt{2}} \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\phi\Bigg] \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} =& \frac{1}{\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta\alpha} \left[\sqrt{2}\sinh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sin\eta A_\phi \right) - \alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\eta \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\ &+ \frac{1}{\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta\alpha} \left[\alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\xi - \sqrt{2}\sin\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\sinh\xi A_\phi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} \\ &+\frac{1}{c \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\alpha A_\eta \right) - \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\alpha A_\xi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^2 s &= \frac{1}{c^2\sinh\xi\sin\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[\sin\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\sinh\xi \frac{\partial s}{\partial \xi} \right) + \sinh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sin\eta \frac{\partial s}{\partial \eta} \right) \right] \\ & + \frac{1}{2c^2\sinh^2\xi\sin^2\eta } \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\phi}^{2}} \end{aligned} \end{equation}

扁椭球坐标系中的矢量算符

   同样的,这里有

\begin{equation} \boldsymbol\nabla s = \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \xi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} + \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \eta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} + \frac{1}{\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta} \frac{\partial s}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = &\frac{1}{c\cosh\xi\cos\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) }\Bigg[\cos\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\cosh\xi\alpha A_\xi) \\&+ \cosh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\cos\eta\alpha A_\eta \right) + \frac{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}{\sqrt{2}} \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\phi\Bigg] \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} =& \frac{1}{\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta\alpha} \left[\sqrt{2}\cosh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\cos\eta A_\phi \right) - \alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\eta \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\ &+ \frac{1}{\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta\alpha} \left[\alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\xi - \sqrt{2}\cos\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\cosh\xi A_\phi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} \\ &+\frac{1}{c \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\alpha A_\eta \right) - \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\alpha A_\xi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^2 s &= \frac{1}{c^2\cosh\xi\cos\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[\cos\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\cosh\xi \frac{\partial s}{\partial \xi} \right) + \cosh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\cos\eta \frac{\partial s}{\partial \eta} \right) \right] \\ &+ \frac{1}{2c^2\cosh^2\xi\cos^2\eta } \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\phi}^{2}} \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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