抛物线坐标系

             

预备知识 抛物线的三种定义

  1抛物线的极坐标方程为(式 1

\begin{equation} r = \frac{\eta}{1 - \cos \theta } \end{equation}
若选用不同的半通径 $\xi$($\xi > 0$),将得到一系列缩放的抛物线(图 1 中的绿色).我们也可以把这些抛物线旋转 180 度,得到
\begin{equation} r = \frac{\xi}{1 + \cos \theta } \end{equation}
这时我们把半通径记为 $\eta$($\eta > 0$),当它取不同的值也得到一系列抛物线(图 1 中的红色).另外我们再定义 $\eta = 0$ 和 $\xi = 0$ 分别代表极轴的正半轴和负半轴(包括原点).综上,通过 $\xi, \eta$ 两个坐标,我们就能确定平面上的唯一一点.

图
图 1:抛物线坐标系,极轴向上(来自 Wikipedia)

   若把这些曲线绕极轴旋转一周变为一系列抛物面,那么我们只需要再指定一个方位角 $\phi$ 就可以用坐标 $(\xi, \eta, \phi)$ 确定空间中的任意一点.

1. 与直角坐标和球坐标的转换

   一般令极轴与直角坐标的 $z$ 轴重合,则根据定义有

\begin{equation} \xi = r(1 + \cos\theta) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + z \end{equation}
\begin{equation} \eta = r(1 - \cos\theta) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - z \end{equation}
\begin{equation} \phi = \operatorname{Arctan} (y, x) \end{equation}
其中 $ \operatorname{Arctan} $ 见 “四象限 Arctan 函数”.可以解得
\begin{equation} z = \frac{\xi - \eta}{2} \end{equation}
\begin{equation} x = \sqrt{\xi\eta}\cos\phi \qquad y = \sqrt{\xi\eta}\sin\phi \end{equation}

  

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2. 正交曲线坐标系

   可以证明抛物线坐标系是一个正交曲线坐标系,即图 1 中过任意一点的两条坐标曲线都垂直:

   在某点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,延 $\eta$ 曲线的切线方向为 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi $,延 $\xi$ 曲线的切线方向为 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta $

\begin{equation} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\frac{\cos\phi}{2} \,\mathrm{d}{\xi} + \sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\frac{\cos\phi}{2\sqrt{\xi}} \,\mathrm{d}{\eta} - \sqrt{\xi\eta}\sin\phi \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\frac{\sin\phi}{2} \,\mathrm{d}{\xi} + \sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\frac{\sin\phi}{2} \,\mathrm{d}{\eta} + \sqrt{\xi\eta}\cos\phi \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{z} = \frac{1}{2} \,\mathrm{d}{\xi} - \frac{1}{2} \,\mathrm{d}{\eta} \end{equation}
所以三个归一化单位矢量分别为(上式的每一列归一化)
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} = \sqrt{\frac{\eta}{\xi+\eta}}\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sqrt{\frac{\eta}{\xi+\eta}}\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \sqrt{\frac{\xi}{\xi+\eta}}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} = \sqrt{\frac{\xi}{\xi+\eta}}\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sqrt{\frac{\xi}{\xi+\eta}}\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \sqrt{\frac{\eta}{\xi+\eta}}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = -\sin\phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
容易证明它们两两正交.另外有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi + \eta}{\xi}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \,\mathrm{d}{\xi} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi + \eta}{\eta}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} \,\mathrm{d}{\eta} + \sqrt{\xi\eta}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}
体积元等于式中三个分量相乘
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \frac{1}{4} (\xi + \eta) \,\mathrm{d}{\xi} \,\mathrm{d}{\eta} \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}

3. 矢量算符

预备知识 正交曲线坐标系中的矢量算符

   结合式 14 式 3 式 8

\begin{equation} \boldsymbol\nabla u = 2\sqrt{\frac{\xi}{\xi + \eta}} \frac{\partial u}{\partial \xi} + 2\sqrt{\frac{\eta}{\xi + \eta}} \frac{\partial u}{\partial \eta} + \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial u}{\partial \phi} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{2}{\xi + \eta} \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\sqrt{\xi(\xi+\eta)}A_\xi \right) + \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sqrt{\eta(\xi+\eta)}A_\eta \right) \right] + \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = & \left[\frac{2}{\sqrt{\xi+\eta}} \frac{\partial}{\partial{\eta}} (\sqrt{\eta}A_\phi) - \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial A_\eta}{\partial \phi} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\ &+ \left[\frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial A_\xi}{\partial \phi} - \frac{2}{\sqrt{\xi+\eta}} \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\sqrt{\xi}A_\phi) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} \\ &+ \left[\frac{2\sqrt{\xi}}{\xi+\eta} \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\sqrt{\xi+\eta}A_\eta) - \frac{2\sqrt{\eta}}{\xi+\eta} \frac{\partial}{\partial{\eta}} (\sqrt{\xi+\eta}A_\xi) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{4}{\xi + \eta} \left[ \frac{\partial u}{\partial \xi} \left(\xi \frac{\partial}{\partial{\xi}} \right) + \frac{\partial u}{\partial \eta} \left(\eta \frac{\partial}{\partial{\eta}} \right) \right] + \frac{1}{\xi\eta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} \end{equation}


1. ^ 参考 [24] Chap 3.5 和 Wikipedia 相关页面

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