抛物线坐标系

贡献者： addis

预备知识 1　抛物线

　　¹抛物线的极坐标方程为（式 1 ）

\begin{equation} r = \frac{\eta}{1 - \cos \theta }~. \end{equation}

若选用不同的半通径 $\xi$（$\xi > 0$），将得到一系列缩放的抛物线（图 1 中的绿色）。我们也可以把这些抛物线旋转 180 度，得到

\begin{equation} r = \frac{\xi}{1 + \cos \theta }~. \end{equation}

这时我们把半通径记为 $\eta$（$\eta > 0$），当它取不同的值也得到一系列抛物线（图 1 中的红色）。另外我们再定义 $\eta = 0$ 和 $\xi = 0$ 分别代表极轴的正半轴和负半轴（包括原点）。综上，通过 $\xi, \eta$ 两个坐标，我们就能确定平面上的唯一一点。

图 1：抛物线坐标系，极轴向上（来自 Wikipedia）

　　若把这些曲线绕极轴旋转一周变为一系列抛物面，那么我们只需要再指定一个方位角 $\phi$ 就可以用坐标 $(\xi, \eta, \phi)$ 确定空间中的任意一点。

1. 与直角坐标和球坐标的转换

　　一般令极轴与直角坐标的 $z$ 轴重合，则根据定义有

\begin{equation} \xi = r(1 + \cos\theta) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + z~, \end{equation}

\begin{equation} \eta = r(1 - \cos\theta) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - z~, \end{equation}

\begin{equation} \phi = \operatorname{Arctan} (y, x)~, \end{equation}

其中 $ \operatorname{Arctan} $ 见 “四象限 Arctan 函数”。可以解得

\begin{equation} z = \frac{\xi - \eta}{2}~, \end{equation}

\begin{equation} x = \sqrt{\xi\eta}\cos\phi ~,\qquad y = \sqrt{\xi\eta}\sin\phi~. \end{equation}

未完成：另开文章

2. 正交曲线坐标系

　　可以证明抛物线坐标系是一个正交曲线坐标系，即图 1 中过任意一点的两条坐标曲线都垂直：

　　在某点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，延 $\eta$ 曲线的切线方向为 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi $，延 $\xi$ 曲线的切线方向为 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta $

\begin{equation} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\frac{\cos\phi}{2} \,\mathrm{d}{\xi} + \sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\frac{\cos\phi}{2\sqrt{\xi}} \,\mathrm{d}{\eta} - \sqrt{\xi\eta}\sin\phi \,\mathrm{d}{\phi} ~, \end{equation}

\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\frac{\sin\phi}{2} \,\mathrm{d}{\xi} + \sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\frac{\sin\phi}{2} \,\mathrm{d}{\eta} + \sqrt{\xi\eta}\cos\phi \,\mathrm{d}{\phi} ~, \end{equation}

\begin{equation} \,\mathrm{d}{z} = \frac{1}{2} \,\mathrm{d}{\xi} - \frac{1}{2} \,\mathrm{d}{\eta} ~. \end{equation}

所以三个归一化单位矢量分别为（上式的每一列归一化）

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} = \sqrt{\frac{\eta}{\xi+\eta}}\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sqrt{\frac{\eta}{\xi+\eta}}\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \sqrt{\frac{\xi}{\xi+\eta}}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~, \end{equation}

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} = \sqrt{\frac{\xi}{\xi+\eta}}\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sqrt{\frac{\xi}{\xi+\eta}}\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \sqrt{\frac{\eta}{\xi+\eta}}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~, \end{equation}

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = -\sin\phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~, \end{equation}

容易证明它们两两正交。另外有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi + \eta}{\xi}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \,\mathrm{d}{\xi} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi + \eta}{\eta}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} \,\mathrm{d}{\eta} + \sqrt{\xi\eta}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \,\mathrm{d}{\phi} ~, \end{equation}

体积元等于式中三个分量相乘

\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \frac{1}{4} (\xi + \eta) \,\mathrm{d}{\xi} \,\mathrm{d}{\eta} \,\mathrm{d}{\phi} ~. \end{equation}

3. 矢量算符

预备知识 2　正交曲线坐标系中的矢量算符

　　结合式 14 和式 3 到式 8 得

\begin{equation} \boldsymbol\nabla u = 2\sqrt{\frac{\xi}{\xi + \eta}} \frac{\partial u}{\partial \xi} + 2\sqrt{\frac{\eta}{\xi + \eta}} \frac{\partial u}{\partial \eta} + \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial u}{\partial \phi} ~, \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{2}{\xi + \eta} \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\sqrt{\xi(\xi+\eta)}A_\xi \right) + \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sqrt{\eta(\xi+\eta)}A_\eta \right) \right] + \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} ~, \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = & \left[\frac{2}{\sqrt{\xi+\eta}} \frac{\partial}{\partial{\eta}} (\sqrt{\eta}A_\phi) - \frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial A_\eta}{\partial \phi} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\ &+ \left[\frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial A_\xi}{\partial \phi} - \frac{2}{\sqrt{\xi+\eta}} \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\sqrt{\xi}A_\phi) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} \\ &+ \left[\frac{2\sqrt{\xi}}{\xi+\eta} \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\sqrt{\xi+\eta}A_\eta) - \frac{2\sqrt{\eta}}{\xi+\eta} \frac{\partial}{\partial{\eta}} (\sqrt{\xi+\eta}A_\xi) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~, \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{4}{\xi + \eta} \left[ \frac{\partial u}{\partial \xi} \left(\xi \frac{\partial}{\partial{\xi}} \right) + \frac{\partial u}{\partial \eta} \left(\eta \frac{\partial}{\partial{\eta}} \right) \right] + \frac{1}{\xi\eta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} ~. \end{equation}

1. ^ 参考 [1] Chap 3.5 和 Wikipedia 相关页面。

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。