图

矢量叉乘

预备知识 三阶行列式

叉乘的几何定义

   两个矢量 $\bvec A$, $\bvec B$ 的叉乘(cross product)1,是一个矢量 $\bvec C$. 叉乘用“ $\cross$” 表示,且不可省略,即 $ \bvec A \cross \bvec B = \bvec C$.要确定一个矢量,只需分别确定模长和方向.

  1. $\bvec C$ 的模长等于 $\bvec A, \bvec B$ 的模长之积与夹角 $\theta$ ($0 \leqslant \theta \leqslant \pi$)的正弦值相乘.
    \begin{equation} \abs{\bvec C} = \abs{\bvec A} \abs{\bvec B} \sin\theta \end{equation}
  2. $\bvec C$ 的方向垂直于 $\bvec A, \bvec B$ 所在的平面,且由右手定则决定.

   与内积和数乘不同,叉乘不满足交换律.根据几何定义, $\bvec B \cross \bvec A$ 与 $\bvec A \cross \bvec B$ 模长相同,方向却相反.表示某个矢量的反方向,就是在前面加负号,所以有

\begin{equation} \bvec B \cross \bvec A = -\bvec A \cross \bvec B \end{equation}

叉乘与数乘的混合运算

   在 $\bvec A \cross \bvec B = \bvec C$ 中, $\bvec C$ 的方向仅由 $\bvec A$ 和 $\bvec B$ 的方向决定.当 $\bvec A$ 和 $\bvec B$ 的方向不变时, $\bvec C$ 的模长正比 $\bvec A$ 和 $\bvec B$ 的模长相乘.假设 $\lambda $ 为常数(标量),显然有

\begin{equation} (\lambda \bvec A) \cross \bvec B = \bvec A \cross (\lambda \bvec B) = \lambda (\bvec A \cross \bvec B) \end{equation}
即标量的位置可以任意变换,但矢量与乘号的位置关系始终要保持不变.

叉乘的分配律

   叉乘一个最重要的特性,就是它满足分配律.

\begin{equation} \bvec A \cross (\bvec B +\bvec C) = \bvec A \cross \bvec B + \bvec A \cross \bvec C \end{equation}
式 2 及上式可以推出
\begin{equation} (\bvec A + \bvec B) \cross \bvec C = - \bvec C \cross (\bvec A + \bvec B) = - \bvec C \cross \bvec A - \bvec C \cross \bvec B = \bvec A \cross \bvec C + \bvec B \cross \bvec C \end{equation}

   从几何的角度理解,这个结论并不显然(见矢量叉乘分配律的几何证明).

叉乘的坐标运算

   按照上面的定义,在右手系中,三个坐标轴的单位矢量 $\uvec x, \uvec y, \uvec z$ 满足

\begin{equation} \uvec x \cross \uvec y = \uvec z \qquad \uvec y \cross \uvec z = \uvec x \qquad \uvec z \cross \uvec x = \uvec y \end{equation}
式 2 可得
\begin{equation} \uvec y \cross \uvec x = - \uvec z \qquad \uvec z \cross \uvec y = - \uvec x \qquad \uvec x \cross \uvec z = - \uvec y \end{equation}
根据定义,一个矢量叉乘自身,模长为 $0$. 所以叉乘结果是零矢量 $\bvec 0$. 于是又有
\begin{equation} \uvec x \cross \uvec x = \bvec 0 \qquad \uvec y \cross \uvec y = \bvec 0 \qquad \uvec z \cross \uvec z = \bvec 0 \end{equation}
式 6 式 7 式 8 中共 9 条等式描述了 $\uvec x, \uvec y, \uvec z$ 中任意两个叉乘的结果.

   把矢量 $\bvec A$ 和 $\bvec B$ 分别在直角坐标系的三个单位矢量展开,得到

\begin{equation} \bvec A = a_x\,\uvec x + a_y\,\uvec y + a_z\,\uvec z \qquad \bvec B = b_x\,\uvec x + b_y\,\uvec y + b_z\,\uvec z \end{equation}
$(a_x,a_y,a_z)$ 和 $(b_x,b_y,b_z)$ 分别是 $\bvec A$ 和 $\bvec B$ 的坐标.根据叉乘的分配律(式 4 式 5 ),可得到如下 9 项
\begin{equation} \ali{ \bvec A \cross \bvec B ={} &(a_x\,\uvec x + a_y\,\uvec y + a_z\,\uvec z) \cross (b_x\,\uvec x + b_y\,\uvec y + b_z\,\uvec z)\\ ={} &+ a_x b_x(\uvec x \cross \uvec x) + a_x b_y(\uvec x \cross \uvec y) + a_x b_z(\uvec z \cross \uvec z)\\ &+ a_y b_x(\uvec y \cross \uvec x) + a_y b_y(\uvec y \cross \uvec y) + a_y b_z(\uvec y \cross \uvec z)\\ &+ a_z b_x(\uvec z \cross \uvec x) + a_z b_y(\uvec z \cross \uvec y) + a_z b_z(\uvec z \cross \uvec z) }\end{equation}
注意每一项中的运算在式 6 式 7 式 8 中都能找到答案,于是上式化为
\begin{equation} \bvec A \cross \bvec B = (a_y b_z - a_z b_y)\,\uvec x + (a_x b_z - a_z b_x)\,\uvec y + (a_x b_y - a_y b_x)\,\uvec z \end{equation}
令 $\bvec C = \bvec A \cross \bvec B$, 则 $\bvec C$ 的分量表达式为
\begin{equation} \leftgroup{ c_x &= a_y b_z - a_z b_y\\ c_y &= a_x b_z - a_z b_x\\ c_z &= a_x b_y - a_y b_x }\end{equation}
式 11 可以用三阶行列式表示为
\begin{equation} \bvec A \cross \bvec B = \begin{vmatrix} \uvec x & \uvec y & \uvec z\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \end{equation}
与普通行列式不同的是,这个行列式中的元有部分是矢量,所以得出的结果也是矢量.

例1 

   空间直角坐标系中三角形的三点分别为 $O(0,0,0)$, $A(1,1,0)$, $B(-1,1,1)$. 求三角形的面积和一个单位法向量.

   令 $O$ 到 $A$ 的矢量和 $O$ 到 $B$ 的矢量分别为

\begin{equation} \ali{ \bvec a &= (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)\\ \bvec b &= (-1,1,1) - (0,0,0) = (-1,1,1) }\end{equation}
三角形的面积为
\begin{equation} S = \frac12 ab \sin \theta \end{equation}
其中 $\theta $ 是 $\bvec a$ 与 $\bvec b$ 的夹角.根据式 1 , 有2
\begin{equation} S = \frac12 ab \sin \theta = \frac12 \abs{\bvec a\cross\bvec b} \end{equation}
\begin{equation} \bvec v = \bvec a \cross \bvec b = \begin{vmatrix} \uvec x & \uvec y & \uvec z \\ 1&1&0\\-1&1&1 \end{vmatrix} = \uvec x - \uvec y + 2\,\uvec z \end{equation}
坐标为 $(1,-1,2)$,模长为 $\abs{\bvec v} = \sqrt{1 + 1 + 2^2} = \sqrt 6$, 所以面积为 $S = \sqrt 6 /2$.

   根据叉乘的几何定义, $\bvec v = (1,-1,2)$ 就是三角形的法向量,进行归一化3 得单位法向量为

\begin{equation} \uvec v = \frac{\bvec v}{\abs{\bvec v}} = \frac{(1,-1,2)}{\sqrt 6} = \qtyRound{ \frac{\sqrt 6 }{6}, - \frac{\sqrt 6 }{6}, \frac{\sqrt 6 }{3} } \end{equation}


1. 也叫叉积(cross product)向量积(vector product)矢量积
2. 可见 $\abs{\bvec a\cross\bvec b}$ 是以 $\bvec a$ 和 $\bvec b$ 为边的平行四边形的面积.
3. 把矢量长度变为 1,方向不变

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利