图

库仑规范

预备知识 规范变换

   当我们选择 $\lambda$ 使得 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 时,就得到了库仑规范. 库仑规范下, 标势和矢势的麦克斯韦方程组(式 4 式 5 )化简为 (真空中的光速为 $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$)

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}} + \frac{1}{c^2} \boldsymbol\nabla \left( \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) \end{equation}
其中式 1 的形式与静止电荷分布的泊松方程形式一样,但同样适用于变化的电荷.这看起来似乎是瞬时作用,但由于标势和矢势都只是数学上的量而不是物理上存在的量,所以是完全正确的.

   当空间中没有电荷只有电磁场时,以上两式进一步化简为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = 0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = \frac{1}{c^2} \boldsymbol\nabla \left( \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) \end{equation}
若假设无穷远处没有电荷电流也没有电场磁场, 那么无穷远处的标势矢势需满足
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = 0 \qquad \boldsymbol\nabla \varphi + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} = 0 \end{equation}
以及 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为调和场. 任何满足 $ \boldsymbol{\nabla}^2 \lambda = 0$ 的规范变换都能满足这些条件. 可见库仑规范本身并不能唯一确定标势矢势,还需要一定的边界条件.

   令标势的边界条件为1无穷远处 $\varphi = 0$, 有

\begin{equation} \varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}

无源的情况

   如果空间中没有电荷和电流(称为无源),那么 $\varphi$ 处处为零.由此得到一个常见的结论是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \end{equation}
矢势的波动方程也变得非常简单
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = 0 \end{equation}
该方程的通解(先不要求 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$)就是由任意极化方向2 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}}} $ 和传播方向的光速平面波
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}}} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi\right) \qquad (\omega = ck) \end{equation}
的线性组合. 再加上 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 条件,得 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$, 即极化方向与传播方向垂直.


1. 见 Griffiths
2. 这里指 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向

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