图

库仑规范

预备知识 规范变换

   当我们选择 $\lambda$ 使得 $\div \bvec A = 0$ 时,就得到了库仑规范. 库仑规范下, 标势和矢势的麦克斯韦方程组(式 4 式 5 )化简为 (真空中的光速为 $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$)

\begin{equation} \laplacian \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \laplacian \bvec A - \frac{1}{c^2} \pdvTwo[2]{\bvec A}{t} = -\mu_0\bvec J + \frac{1}{c^2} \grad\qtyRound{\pdvTwo{\varphi}{t}} \end{equation}
其中式 1 的形式与静止电荷分布的泊松方程形式一样,但同样适用于变化的电荷.这看起来似乎是瞬时作用,但由于标势和矢势都只是数学上的量而不是物理上存在的量,所以是完全正确的.

   当空间中没有电荷只有电磁场时,以上两式进一步化简为

\begin{equation} \laplacian \varphi = 0 \end{equation}
\begin{equation} \laplacian \bvec A - \frac{1}{c^2}\pdvTwo[2]{\bvec A}{t} = \frac{1}{c^2} \grad\qtyRound{\pdvTwo{\varphi}{t}} \end{equation}
若假设无穷远处没有电荷电流也没有电场磁场, 那么无穷远处的标势矢势需满足
\begin{equation} \laplacian \varphi = 0 \qquad \grad \varphi + \pdvTwo{\bvec A}{t} = 0 \end{equation}
以及 $\bvec A$ 为调和场. 任何满足 $\laplacian \lambda = 0$ 的规范变换都能满足这些条件. 可见库仑规范本身并不能唯一确定标势矢势,还需要一定的边界条件.

   令标势的边界条件为1无穷远处 $\varphi = 0$, 有

\begin{equation} \varphi(\bvec r, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\bvec r', t)}{\abs{\bvec r - \bvec r'}} \dd[3]{r'} \end{equation}

无源的情况

   如果空间中没有电荷和电流(称为无源),那么 $\varphi$ 处处为零.由此得到一个常见的结论是

\begin{equation} \bvec E = - \pdvTwo{\bvec A}{t} \end{equation}
矢势的波动方程也变得非常简单
\begin{equation} \laplacian \bvec A - \frac{1}{c^2} \pdvTwo[2]{\bvec A}{t} = 0 \end{equation}
该方程的通解(先不要求 $\div \bvec A = 0$)就是由任意极化方向2 $\uvec \varepsilon$ 和传播方向的光速平面波
\begin{equation} \uvec \varepsilon \cosRound{\bvec k \vdot \bvec r - \omega t + \phi} \qquad (\omega = ck) \end{equation}
的线性组合. 再加上 $\div \bvec A = 0$ 条件,得 $\uvec \varepsilon \vdot \bvec k = 0$, 即极化方向与传播方向垂直.


1. 见 Griffiths
2. 这里指 $\bvec A$ 的方向

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