贡献者： addis; Entanglement
1. 无相对转动
若两个参考系之间只有平移没有转动，某时刻两个参考系中任意两个固定点之间的加速度都是相等的（类比式 1 ）。令某时刻点 $P$ 相对于 $S$ 系和 $S'$ 系的加速度分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$，再令两坐标系之间的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$，那么有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r~.
\end{equation}
同样地，如果要将该式写成分量的形式，三个矢量必须使用同一坐标系（见
例 1 ）。
例 1
如图 1 一个圆盘绕着圆形轨道的外侧无摩擦滚动，圆盘中心的相对于轨道中心的角速度为 $\omega$，求圆盘边缘上一点在任意时刻的加速度。
图 1：例 1 图示
解：我们令轨道参考系为 $S$ 系，$S'$ 系的原点为点 $A$，且相对 $S$ 系无转动，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 从 $O$ 指向接触点，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 从 $A$ 指向边缘上一点 $P$，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r$ 是单位矢量，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $ 同理。那么在 $S'$ 系中，$P$ 的角速度等于 “相对于接触点的角速度” 加 “接触点的角速度”
\begin{equation}
\omega_1 = \frac{\omega R}{r} + \omega~.
\end{equation}
向心加速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = -\omega_1^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} = -\frac{(R+r)^2}{r} \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
圆盘中心 $A$ 点相对于圆形轨道中心 $O$ 点的加速度，也就是 $S'$ 相对于 $S$ 的加速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _r = -\omega^2 (R + r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~,
\end{equation}
代入
式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r = -\frac{(R+r)^2}{r} \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} -\omega^2 (R + r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~.
\end{equation}
例如当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 同方向时（点 $P$ 离 $O$ 最远），$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = - \left(\frac{R^2}{r} + 2r + 3R \right) \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~.
\end{equation}
反方向时（点 $P$ 离 $O$ 最近），$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \left(\frac{R^2}{r} + R \right) \omega^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ~.
\end{equation}
另一种方法是假设 $S'$ 以 $A$ 为原点且相对 $S$ 系以 $\omega$ 逆时针旋转，此时必须考虑下文的科里奥利加速度，见习题 1 。
2. 有相对转动
类比式 1 ，若两参考系之间有可能存在转动，牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$ 的定义会变得比牵连速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 更微妙，因为牵连速度与参考系的选取无关，而牵连加速度却有关！ 我们举例解释。
例 2 牵连加速度
令 $S'$ 系原点沿着 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动，且相对 $S$ 系以恒定角速度矢量（子节 3 ）$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = 2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 转动。令 $t = 0$ 时两系完全重合。我们来讨论此刻原点处的牵连速度。
两参考系 $t = 0$ 时刻的固定点为各自的原点 $O$ 和 $O'$。$O'$ 延 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动，所以 $S$ 系的观察者会认为牵连加速度为零。然而在 $S'$ 系的观察者看来，$O$ 始终在做速度不为零的曲线运动，所以 $t = 0$ 时牵连加速度不为零。
我们在 $S$ 系中讨论问题。定义 $t$ 时刻点 $P$ 在 $S'$ 系中的固定点相对于 $S$ 系的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$。那么可以证明（证明见下文）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~.
\end{equation}
这比
式 1 多出了一项，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是 $S'$ 系相对于 $S$ 系的瞬时角速度。最后一项被称为
科里奥利加速度（Coriolis Acceleration）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _c = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~.
\end{equation}
若我们把 $S'$ 相对于 $S$ 的运动分解为原点的平移加绕原点的转动，那么牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$ 也可以分解为平移加速度和旋转加速度，而旋转加速度又可以分为向心加速度（式 11 ）和角加速度项。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'})
= \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}~,
\end{equation}
其中平移加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{O'}$ 的定义为 $S'$ 系原点在 $S$ 系中的加速度。
一种常见的特殊情况是，当两坐标系原点重合，且相对匀速转动时，有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}) + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~,
\end{equation}
最后两项分别是向心加速度以及科里奥利加速度。
习题 1
- 请使用例 1 的情景验证式 8 。
- 使用旋转参考系计算例 1 ，是否能得到相同的结果？（假设 $S'$ 系关于 $S$ 系逆时针以 $\omega$ 旋转）。
证明（旋转矩阵法）
我们在 $S$ 系中以坐标的形式证明式 8 ，如无声明式中的矢量都看作是 $S$ 系中的三个坐标。令点 $P$ 在两系中的坐标分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _S(t) = (x\ y\ z) ^{\mathrm{T}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}(t) = (x'\ y'\ z') ^{\mathrm{T}} $，且坐标变换可以用一个旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 和一个平移矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{d}} (t)$ 表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{d}} ~.
\end{equation}
两边关于时间求导得
1
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}+ \dot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }~,
\end{equation}
再求导并整理得
\begin{equation}
\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} + (\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }) + 2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}~,
\end{equation}
下面我们只需证明这三项分别对应
式 8 的各项即可。
在 $S$ 系中，显然有 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S$。$P$ 在 $S'$ 系中的加速度为 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$，乘以旋转矩阵就变换到 $S$ 系中，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$。
若 $S'$ 系中的固定点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}$ 不随时间变化，则式 12 求二阶导数得 $S'$ 系中固定点相对于 $S$ 系中固定点的加速度（在 $S$ 系中的坐标）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _r = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }~.
\end{equation}
再来看式 14 最后一项，将式 2 代入，得
\begin{equation}
2\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} = 2 \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}) = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~,
\end{equation}
这就是
式 8 的最后一项。证毕。
证明（矢量法）
1. ^ 用符号上方一点表示时间导数，两点表示时间二阶导数。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
