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角动量 角动量定理 角动量守恒(单个质点)

预备知识 牛顿第二定律,力矩

质点的角动量

   一个质点的质量为 $m$, 某时刻速度为 $\bvec v$, 则其动量为 $\bvec p = m\bvec v$. 在三维空间中建立坐标系, 原点为 $O$, $O$ 点到质点的位置矢量为 $\bvec r$. 定义该质点关于 $O$ 点的角动量

\begin{equation} \bvec L = \bvec r \cross \bvec p = m\bvec r\cross \bvec v \end{equation}
由叉乘的几何定义 可知,当速度与位矢平行时角动量为 $\bvec 0$,垂直时角动量模长为距离和动量模长的积 $L = rp$.

角动量定理

   这个质点在该时刻受到的力矩为 $\bvec \tau$,可以证明

\begin{equation} \dvTwo{\bvec L}{t} = \bvec \tau \end{equation}
这就是(单个质点的)角动量定理

   特殊地,若质点受到的力矩为零,则 $ \dvStarTwo{\bvec L}{t} = \bvec 0$,即角动量不随时间变化.这个现象叫做(单个质点的)角动量守恒.由力矩的定义,$\bvec \tau = \bvec r \cross \bvec F$,可见以下两种情况下力矩为零,角动量守恒.

  1. 质点受合力 $\bvec F= \bvec 0$,即质点静止或做匀速直线运动.
  2. $\bvec F$ 与 $\bvec r$ 同向,即质点只受关于 $O$ 点的有心力

   我们来证明单个质点的角动量定理. 令质点的速度为 $\bvec v = \dvStarTwo{\bvec r}{t}$,加速度为 $\bvec a = \dvStarTwo{\bvec v}{t}$, 叉乘的求导法则(式 8 ) 与标量乘法求导类似, 牛顿第二定律为 $\bvec F = m\bvec a$,两个同方向矢量叉乘为零,

\begin{equation} \ali{ \dvTwo{\bvec L}{t} &= \dvTwo{( \bvec r \cross \bvec p )}{t} = m\dvTwo{(\bvec r \cross \bvec v)}{t} = m \qtyRound{ \dvTwo{\bvec r}{t} \cross \bvec v + \bvec r \cross \dvTwo{\bvec v}{t} }\\ &= m(\bvec v \cross \bvec v + \bvec r \cross \bvec a) = \bvec r \cross (m\bvec a)\\ &= \bvec r \cross \bvec F = \bvec \tau } \end{equation}
证毕.

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