玻色爱因斯坦凝聚

             

贡献者: _Eden_

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预备知识 玻尔兹曼分布(统计力学)

   考虑由 $N$ 个全同1、近独立2的玻色子组成的系统.根据玻色分布,处在能级 $\epsilon_l$ 上的粒子数为

\begin{equation} a_l=\frac{\omega_l}{e^{\frac{\epsilon_l-\mu}{kT}}-1} \end{equation}
处于任意能级上的粒子数不能为负的,即 $a_l\ge 0$,这要求对任意能级 $\epsilon_l$ 都 $ > \mu$.所以化学势 $\mu < 0$.化学势可以由下式确定:
\begin{equation} \sum_la_l=\sum_l \frac{\omega_l}{e^{\frac{\epsilon_l-\mu}{kT}}-1} =N \end{equation}
可以看出,化学势随温度的降低而升高.当温度降到某一临界温度 $T_C$ 时,$\mu$ 将趋于 $-0$,大量粒子将聚集在最低的单粒子态(即基态)上,直到绝对零度时,所有粒子都会凝聚到基态上.这种无相互作用系统中,宏观数量的玻色子凝聚到能量最低的单粒子态上的现象就被称为玻色爱因斯坦凝聚

   下面计算临界温度 $T_C$.将式 2 中的求和用积分代替,并利用式 2 化简.可以得到

\begin{equation} \frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^\infty \frac{\epsilon^{1/2} \,\mathrm{d}{\epsilon} }{e^{\frac{\epsilon-\mu}{kT}}-1}=N \end{equation}
当 $T$ 降到 $T_C$ 时,$\mu$ 趋于 $-0$.所以临界温度 $T_C$ 由下式给出
\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^\infty \frac{\epsilon^{1/2} \,\mathrm{d}{\epsilon} }{e^{\frac{\epsilon}{kT_C}}-1}=N\\ &\Rightarrow \frac{2\pi}{h^3}(2mkT_C)^{3/2}\int_0^\infty \frac{x^{1/2} \,\mathrm{d}{x} }{e^x-1}=n\\ &\Rightarrow T_C=\frac{h^2}{2\pi mk} \left(\frac{n}{2.612} \right) ^{2/3} \end{aligned} \end{equation}

   例如将液 $^4\rm{He}$ 的数据代入,可以得到 $T_C=3.13\rm{K}$. $^4\rm{He}$ 在 $T_\lambda=2.17\rm{K}$ 时发生一个相变,称为 $\lambda$ 相变.温度高于 $T_\lambda$ 时是正常液体,称为 $\rm{He}$Ⅰ.低于 $T_\lambda$ 时液 $^4\rm{He}$ 具有超流性,称为 $\rm{He}$Ⅱ.由于临界温度 $T_C$ 与 $T_\lambda$ 非常接近.因此发现 $^4\rm{He}$ 的超流性质后,伦敦曾提出 $^4\rm{He}$ 的 $\lambda$ 相变可能是一种玻色凝聚.但后来人们发现并不是这样,液氦的超流性是由于氦原子之间的相互作用引起的.随后,人们一直试图寻找一种真正玻色爱因斯坦·凝聚的例子.要实现真正意义上的玻色-爱因斯坦凝聚,就必须使得气体足够稀薄,以至于其原子或分子间的相互作用可以忽略.这实际上要求极低的温度.因此,只有近年来低温技术(激光冷却和磁约束的技术)得到充分发展后,才可能在实验上实现.当然,与此同时也产生了许多新的诺贝尔奖获得者.

   当 $T < T_C$ 时,为了计算在最低能级 $\epsilon=0$ 的粒子数密度,不能再采用 式 4 的积分形式,必须将 $\epsilon=0$ 部分单独处理.$\epsilon > 0$ 的部分仍可以用积分近似.

\begin{equation} \begin{aligned} &n_0(T)+\frac{2\pi}{h^3}(2mkT)^{3/2}\int_0^\infty \frac{x^{1/2} \,\mathrm{d}{x} }{e^x-1}=n\\ &\Rightarrow n_0(T)+n \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2}=n\\ &\Rightarrow n_0(T)=n \left[1- \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2} \right] \end{aligned} \end{equation}

   式 5 表明,在 $T < T_C$ 时会有宏观量级的粒子在能级 $\epsilon=0$ 凝聚.这就是玻色·爱因斯坦凝聚,简称玻色凝聚.$T_C$ 称为凝聚温度.凝聚在 $\epsilon_0$ 的粒子集合称为玻色凝聚体.凝聚体不仅能量、动量为 $0$,由于微观状态完全确定,其熵也为 $0$.凝聚体对压强也没有贡献.

   根据玻色分布可以计算玻色气体的内能,从而计算热容.

\begin{equation} \begin{aligned} U&=\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^\infty \frac{\epsilon^{3/2} \,\mathrm{d}{\epsilon} }{e^{\epsilon/kT}-1}\\ &=\frac{2\pi V}{h^3}(2mkT)^{3/2}kT\int_0^\infty \frac{x^{3/2} \,\mathrm{d}{x} }{e^{x}-1}\\&=\frac{2\pi V}{h^3}(2mkT)^{3/2}kT\cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4}\cdot 1.341 \\ &=0.770NkT \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2} \end{aligned} \end{equation}
所以定容热容为
\begin{equation} C_V= \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right) _V=\frac{5}{2}\frac{U}{T}=1.925Nk \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2} \end{equation}

   于是 $T < T_C$ 时理想玻色气体的 $C_V$ 与 $T^{3/2}$ 成正比.到 $T=T_C$ 时热容有一处尖峰,$C_V$ 达到极大值;高温时应趋向于经典值 $\frac{3}{2}Nk$.


1. ^ 需要考虑全同粒子假设,$\Omega=\Omega_{M.B.}/N!$.
2. ^ 近独立的意思是,系统的总能量近似等于所有单粒子能量的总和,即忽略粒子相互作用势.这是一个极粗糙的近似,但我们可以以此简化计算得到系统可能的一些性质.


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