定义 1 斜对称映射
设 $X,Y$ 是任一集合，其中 $Y$ 上的任一元素 $y$ 都有一元 $-y=-1\cdot y$ 与之对应，且 $y$ 上的元素与 $-1$ 的作用满足 $\underbrace{(-1)\cdot((-1)\cdots((-1)}_{n\text{个}}\cdot y)\cdots)=(-1)^n y$。
$n$ 元映射 $f:X^n\rightarrow Y$ 叫作斜对称的，若对任意 $k=1,\cdots,n-1$，成立
\begin{equation}
f(\cdots,x_k,x_{k+1},\cdots)=-f(\cdots,x_{k+1},x_k,\cdots)~,
\end{equation}
即当交换任意两个相邻变量的位置时，映射值变号。
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_{j-1},x_j,\cdots)&=-f(\cdots,x_{i+1},x_{i},\cdots,x_{j-1},x_j,\cdots)\\
&=(-1)^2 f(\cdots,x_{i+1},x_{j},\cdots,x_{j-1},x_i,\cdots)\\
&=(-1)^3 f(\cdots,x_{j},x_{i+1},\cdots,x_{j-1},x_i,\cdots)\\
&=-f(\cdots,x_{j},x_{i+1},\cdots,x_{j-1},x_i,\cdots)
\end{aligned}~.
\end{equation}
例 1 外积
在斜对称映射的帮助下，可以直接讨论外积（wedge）的一些性质，而不关心具体的集合。外积运算 $\wedge$ 具有结合性和斜对称性的性质：
- 结合性：$x_1\wedge(x_2\wedge x_3)=(x_1\wedge x_2)\wedge x_3$，
- 斜对称性：$x_1\wedge x_2=-x_2\wedge x_1$。
定义映射 $f:V^k\rightarrow \Lambda^k(V)$：
\begin{equation}
f(x_1,\cdots,x_k)=x_1\wedge\cdots\wedge x_k~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\Lambda^k(V)=\{x_1\wedge\cdots\wedge x_k| x_i\in V,i=1,\cdots,k\}~,
\end{equation}
满足
定义 1 中集合 $Y$ 的一切性质。
$\wedge$ 的结合性意味着括号怎么摆放都不重要；斜对称性则意味着，对 $\forall i=1,\cdots,k-1$，都成立
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x_1,\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_k)&=-f(x_1,\cdots,x_{i+1},x_i,\cdots,x_k)\\
&\Downarrow\\
x_1\wedge\cdots\wedge (x_i\wedge x_{i+1})\wedge\cdots\wedge x_k&=-x_1\wedge\cdots\wedge (x_{i+1}\wedge x_{i})\wedge\cdots\wedge x_k~.
\end{aligned}
\end{equation}
于是由
定理 1 ，
任意交换两个变量的位置，$f$ 变号，即
\begin{equation}
x_1\wedge\cdots\wedge x_i\wedge\cdots\wedge x_j\wedge\cdots\wedge x_k=-x_1\wedge\cdots\wedge x_j\wedge\cdots\wedge x_i\wedge\cdots\wedge x_k~.
\end{equation}
设 $\pi$ 是个将集合 $\{1,\cdots,k\}$ 重新排序的映射（这样的映射成为置换）。比如 $k=3$，$\pi$ 将 $1,2,3$ 重新排序为 $2,1,3$，那么
\begin{equation}
\pi 1=2,\quad\pi2=1,\quad \pi3=3~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k}~,
\end{equation}
可通过某个 $\pi$ 按升序排列为
\begin{equation}
x_{i_{\pi1}}\wedge\cdots\wedge x_{i_{\pi k}}~,
\end{equation}
使得 $i_{\pi1}<\cdots< i_{\pi k}$。由于任意置换都和通过依次进行
两两交换得到（即先交换某两个数再交换某两个数）。假如
式 8 到
式 9 进行这样两两交换的次数为 $n$，
那么由
式 1 ，就有
\begin{equation}
x_{i_{\pi1}}\wedge\cdots\wedge x_{i_{\pi k}}=(-1)^p x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k}~.
\end{equation}
事实上，$p$ 是奇数还是偶数取决于 $\pi$，并称 $\epsilon_\pi=(-1)^p$ 为置换 $\pi$ 的符号，于是上式便为
\begin{equation}
x_{i_{\pi1}}\wedge\cdots\wedge x_{i_{\pi k}}=\epsilon_\pi (x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k})~.
\end{equation}
这就是说
任意一个乘积 $x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k}$ 可按因子（即 $x_i$）的升序进行排列。
关于外积，参加外代数。
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