斜对称映射

                     

贡献者: 零穹

预备知识 映射

定义 1 斜对称映射

   设 $X,Y$ 是任一集合,其中 $Y$ 上的任一元素 $y$ 都有一元 $-y=-1\cdot y$ 与之对应,且 $y$ 上的元素与 $-1$ 的作用满足 $\underbrace{(-1)\cdot((-1)\cdots((-1)}_{n\text{个}}\cdot y)\cdots)=(-1)^n y$.

   $n$ 元映射 $f:X^n\rightarrow Y$ 叫作斜对称的,若对任意 $k=1,\cdots,n-1$,成立

\begin{equation} f(\cdots,x_k,x_{k+1},\cdots)=-f(\cdots,x_{k+1},x_k,\cdots) \end{equation}
即当交换任意两个相邻变量的位置时,映射值变号.

定理 1 

   交换任意两个变量的位置,斜对称映射都变号.

   证明:设交换第 $i,j$ 个变量的位置,且 $i < j$,那么位于 $i,j$ 之间的自变量的个数 $l=j-i-1$.利用数学归纳法证明如下:$l=0$ 时正好满足斜对称的定义,故成立.设 $l\leq k$ 时定理成立,那么 $l=k$ 时有

\begin{equation} \begin{aligned} f(\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_{j-1},x_j,\cdots)&=-f(\cdots,x_{i+1},x_{i},\cdots,x_{j-1},x_j,\cdots)\\ &=(-1)^2 f(\cdots,x_{i+1},x_{j},\cdots,x_{j-1},x_i,\cdots)\\ &=(-1)^3 f(\cdots,x_{j},x_{i+1},\cdots,x_{j-1},x_i,\cdots)\\ &=-f(\cdots,x_{j},x_{i+1},\cdots,x_{j-1},x_i,\cdots) \end{aligned} \end{equation}

   证毕!

例 1 外积

   在斜对称映射的帮助下,可以直接讨论外积(wedge)的一些性质,而不关心具体的集合.外积运算 $\wedge$ 具有结合性和斜对称性的性质:

  1. 结合性:$x_1\wedge(x_2\wedge x_3)=(x_1\wedge x_2)\wedge x_3$
  2. 斜对称性:$x_1\wedge x_2=-x_2\wedge x_1$

   定义映射 $f:V^k\rightarrow \Lambda^k(V)$:

\begin{equation} f(x_1,\cdots,x_k)=x_1\wedge\cdots\wedge x_k \end{equation}
其中
\begin{equation} \Lambda^k(V)=\{x_1\wedge\cdots\wedge x_k| x_i\in V,i=1,\cdots,k\} \end{equation}
满足定义 1 中集合 $Y$ 的一切性质.

   $\wedge$ 的结合性意味着括号怎么摆放都不重要;斜对称性则意味着,对 $\forall i=1,\cdots,k-1$,都成立

\begin{equation} \begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_k)&=-f(x_1,\cdots,x_{i+1},x_i,\cdots,x_k)\\ &\Downarrow\\ x_1\wedge\cdots\wedge (x_i\wedge x_{i+1})\wedge\cdots\wedge x_k&=-x_1\wedge\cdots\wedge (x_{i+1}\wedge x_{i})\wedge\cdots\wedge x_k \end{aligned} \end{equation}
于是由定理 1 任意交换两个变量的位置,$f$ 变号,即
\begin{equation} x_1\wedge\cdots\wedge x_i\wedge\cdots\wedge x_j\wedge\cdots\wedge x_k=-x_1\wedge\cdots\wedge x_j\wedge\cdots\wedge x_i\wedge\cdots\wedge x_k \end{equation}

   设 $\pi$ 是个将集合 $\{1,\cdots,k\}$ 重新排序的映射(这样的映射成为置换).比如 $k=3$,$\pi$ 将 $1,2,3$ 重新排序为 $2,1,3$,那么

\begin{equation} \pi 1=2,\quad\pi2=1,\quad \pi3=3 \end{equation}
于是
\begin{equation} x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k} \end{equation}
可通过某个 $\pi$ 按升序排列为
\begin{equation} x_{i_{\pi1}}\wedge\cdots\wedge x_{i_{\pi k}} \end{equation}
使得 $i_{\pi1} < \cdots < i_{\pi k}$.由于任意置换都和通过依次进行两两交换得到(即先交换某两个数再交换某两个数).假如式 8 式 9 进行这样两两交换的次数为 $n$, 那么由式 1 ,就有
\begin{equation} x_{i_{\pi1}}\wedge\cdots\wedge x_{i_{\pi k}}=(-1)^p x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k} \end{equation}
事实上,$p$ 是奇数还是偶数取决于 $\pi$,并称 $\epsilon_\pi=(-1)^p$ 为置换 $\pi$ 的符号,于是上式便为
\begin{equation} x_{i_{\pi1}}\wedge\cdots\wedge x_{i_{\pi k}}=\epsilon_\pi (x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k}) \end{equation}
这就是说任意一个乘积 $x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_k}$ 可按因子(即 $x_i$)的升序进行排列

   关于外积,参加外代数


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