斜对称映射

贡献者：零穹; Giacomo; addis

预备知识　矢量空间，线性映射

定义 1　斜对称映射

　　设 $X, Y$ 是任一集合，其中 $Y$ 上的任一元素 $y$ 都有一元 $- y = - 1 \cdot y$ 与之对应，且 $y$ 上的元素与 $- 1$ 的作用满足 $\underset{n 个}{\underset{⏟}{(- 1) \cdot ((- 1) \dots ((- 1)}} \cdot y) \dots) = (- 1)^{n} y$ 。

　　 $n$ 元映射 $f : X^{n} \to Y$ 叫作斜对称的，若对任意 $k = 1, \dots, n - 1$ ，成立

\begin{matrix} (1) & f (\dots, x_{k}, x_{k + 1}, \dots) = - f (\dots, x_{k + 1}, x_{k}, \dots), \end{matrix}

即当交换任意两个相邻变量的位置时，映射值变号。

定理 1　

　　交换任意两个变量的位置，斜对称映射都变号。

　　 证明：设交换第 $i, j$ 个变量的位置，且 $i < j$ ，那么位于 $i, j$ 之间的自变量的个数 $l = j - i - 1$ 。利用数学归纳法证明如下： $l = 0$ 时正好满足斜对称的定义，故成立。设 $l \leq k$ 时定理成立，那么 $l = k$ 时有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} f (\dots, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{j - 1}, x_{j}, \dots) & = - f (\dots, x_{i + 1}, x_{i}, \dots, x_{j - 1}, x_{j}, \dots) \\ = (- 1)^{2} f (\dots, x_{i + 1}, x_{j}, \dots, x_{j - 1}, x_{i}, \dots) \\ = (- 1)^{3} f (\dots, x_{j}, x_{i + 1}, \dots, x_{j - 1}, x_{i}, \dots) \\ = - f (\dots, x_{j}, x_{i + 1}, \dots, x_{j - 1}, x_{i}, \dots) \end{aligned} . \end{matrix}

证毕！

例 1　外积

　　在斜对称映射的帮助下，可以直接讨论外积（wedge）的一些性质，而不关心具体的集合。外积运算 $\land$ 具有结合性和斜对称性的性质：

结合性： $x_{1} \land (x_{2} \land x_{3}) = (x_{1} \land x_{2}) \land x_{3}$ ，
斜对称性： $x_{1} \land x_{2} = - x_{2} \land x_{1}$ 。

　　定义映射 $f : V^{k} \to Λ^{k} (V)$ ：

\begin{matrix} (3) & f (x_{1}, \dots, x_{k}) = x_{1} \land \dots \land x_{k} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4) & Λ^{k} (V) = {x_{1} \land \dots \land x_{k} | x_{i} \in V, i = 1, \dots, k}, \end{matrix}

满足定义 1 中集合

Y

的一切性质。

　　 $\land$ 的结合性意味着括号怎么摆放都不重要；斜对称性则意味着，对 $\forall i = 1, \dots, k - 1$ ，都成立

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} f (x_{1}, \dots, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{k}) & = - f (x_{1}, \dots, x_{i + 1}, x_{i}, \dots, x_{k}) \\ ⇓ \\ x_{1} \land \dots \land (x_{i} \land x_{i + 1}) \land \dots \land x_{k} & = - x_{1} \land \dots \land (x_{i + 1} \land x_{i}) \land \dots \land x_{k} . \end{aligned} \end{matrix}

于是由定理 1 ，任意交换两个变量的位置， $f$ 变号，即

\begin{matrix} (6) & x_{1} \land \dots \land x_{i} \land \dots \land x_{j} \land \dots \land x_{k} = - x_{1} \land \dots \land x_{j} \land \dots \land x_{i} \land \dots \land x_{k} . \end{matrix}

　　设 $π$ 是个将集合 ${1, \dots, k}$ 重新排序的映射（这样的映射成为置换）。比如 $k = 3$ ， $π$ 将 $1, 2, 3$ 重新排序为 $2, 1, 3$ ，那么

\begin{matrix} (7) & π 1 = 2, π 2 = 1, π 3 = 3 . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (8) & x_{i_{1}} \land \dots \land x_{i_{k}}, \end{matrix}

可通过某个

π

按升序排列为

\begin{matrix} (9) & x_{i_{π 1}} \land \dots \land x_{i_{π k}}, \end{matrix}

使得

i_{π 1} < \dots < i_{π k}

。由于任意置换都和通过依次进行两两交换得到（即先交换某两个数再交换某两个数）。假如式 8 到式 9 进行这样两两交换的次数为

n

，那么由式 1 ，就有

\begin{matrix} (10) & x_{i_{π 1}} \land \dots \land x_{i_{π k}} = (- 1)^{p} x_{i_{1}} \land \dots \land x_{i_{k}} . \end{matrix}

事实上，

p

是奇数还是偶数取决于

π

，并称

ϵ_{π} = (- 1)^{p}

为置换

π

的符号，于是上式便为

\begin{matrix} (11) & x_{i_{π 1}} \land \dots \land x_{i_{π k}} = ϵ_{π} (x_{i_{1}} \land \dots \land x_{i_{k}}) . \end{matrix}

这就是说任意一个乘积 $x_{i_{1}} \land \dots \land x_{i_{k}}$ 可按因子（即 $x_{i}$ ）的升序进行排列。

　　关于外积，参加外代数。

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斜对称映射

定义 1 斜对称映射

定理 1

例 1 外积

定义 1　斜对称映射

定理 1　

例 1　外积