列维—奇维塔符号

             

预备知识 逆序数

  1列维—奇维塔符号(Levi-Civita symbol,简称 LC 符号)是一个函数,记为 $\epsilon_{i_1, i_2, \dots, i_N}$.$N$ 叫做它的维数(dimension).它的自变量是 $N$ 个正整数 $i_1, \dots, i_N$,可以称为角标.每个角标从 $1, 2, \dots, N$ 中取值.函数值只能取 $0, 1, -1$ 中的一个.当 $i_1, \dots, i_N$ 中有任意两个重复时函数值为 0;若没有重复,则函数值为 $(-1)^{N_p}$,$N_p$ 为排列 $i_1, \dots, i_N$ 的逆序数

   综上,$N$ 维 LC 符号的角标共有 $N^N$ 种不同可能,而使函数值不为零的有 $N!$ 种,其中函数值为 $\pm 1$ 的各占一半.

1. 三阶 LC 符号

   三阶 LC 符号是矢量分析中常用的,可以直接用穷举法来定义.在不至于混淆的情况下我们可以把角标之间的逗号省略.

\begin{equation} \epsilon_{123} = \epsilon_{231} = \epsilon_{312} = 1 \end{equation}
\begin{equation} \epsilon_{321} = \epsilon_{213} = \epsilon_{132} = -1 \end{equation}
当 $i,j,k$(只能取 1,2,3)中任意两个重复时,$\epsilon_{ijk} = 0$.

   三阶行列式可以记为

\begin{equation} \operatorname {det}{A} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{i,j,k} a_{1,i} a_{2,j} a_{3,k} \end{equation}
所以两个几何矢量的叉乘可以记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i,j,k} \epsilon_{i,j,k} u_j v_k \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i \end{equation}


1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面

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