贡献者： addis
1列维—奇维塔符号（Levi-Civita symbol，简称 LC 符号）是一个函数，记为 $\epsilon_{i_1, i_2, \dots, i_N}$。$N$ 叫做它的维数（dimension）。它的自变量是 $N$ 个正整数 $i_1, \dots, i_N$，可以称为角标。每个角标从 $1, 2, \dots, N$ 中取值。函数值只能取 $0, 1, -1$ 中的一个。当 $i_1, \dots, i_N$ 中有任意两个重复时函数值为 0；若没有重复，则函数值为 $(-1)^{N_p}$，$N_p$ 为排列 $i_1, \dots, i_N$ 的逆序数
综上，$N$ 维 LC 符号的角标共有 $N^N$ 种不同可能，而使函数值不为零的有 $N!$ 种，其中函数值为 $\pm 1$ 的各占一半。
1. 三阶 LC 符号
三阶 LC 符号是矢量分析中常用的，可以直接用穷举法来定义。在不至于混淆的情况下我们可以把角标之间的逗号省略。
\begin{equation}
\epsilon_{123} = \epsilon_{231} = \epsilon_{312} = 1~,
\end{equation}
\begin{equation}
\epsilon_{321} = \epsilon_{213} = \epsilon_{132} = -1~.
\end{equation}
当 $i,j,k$（只能取 1,2,3）中任意两个重复时，$\epsilon_{ijk} = 0$。
三阶行列式可以记为
\begin{equation}
\operatorname {det}{A} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{i,j,k} a_{1,i} a_{2,j} a_{3,k}~,
\end{equation}
所以两个几何矢量的
叉乘可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i,j,k} \epsilon_{i,j,k} u_j v_k \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i~.
\end{equation}
1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面。
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