加速度规范

贡献者： addis

预备知识　速度规范，平移算符，非惯性参考系、惯性力

　　¹本文使用原子单位制。首先注意加速度规范（acceleration gauge）并不是一种规范而只是薛定谔方程的一种广义变换，说它是规范只是习惯上的叫法。该变换也叫做 Kramers-Henneberger 变换 或 K-H 变换。

　　在速度规范下，电场和矢势满足和库仑规范和速度规范同样的关系（式 7 ）

\begin{matrix} (1) & E (t) = - \frac{\partial A}{\partial t} . \end{matrix}

注意速度规范默认偶极子近似，即空间中电场和矢势都与位置无关。一个电荷为

q

的粒子在电磁波到来之前处于静止，那么接下来它在电磁波作用下的位移为

\begin{matrix} (2) & α (t) = - \frac{q}{m} \int_{- \infty}^{t} A (t^{'}) d t^{'} . \end{matrix}

和速度规范之间的波函数变换是一个位移为

α

的平移，

α

是一个自由带电粒子在外电场中产生的位移

\begin{matrix} (3) & Ψ_{V} (r, t) = Ψ_{A} (r - α, t) . \end{matrix}

也可以用平移算符记为

\begin{matrix} (4) & Ψ_{V} (r, t) = e^{- i α \cdot p} Ψ_{A} (r, t) . \end{matrix}

这相当于一个参考系变换，我们把

Ψ_{A}

所在的参考系叫做 K-H 参考系（K-H frame），是一个非惯性系。注意严格来说式 4 要求波函数在整个空间无穷阶可导，而式 3 却不用，但习惯上我们只是把平移算符看成平移的一种记号，并不要求波函数无穷阶可导。

　　为什么说 K-H 变换不是一个规范变换？因为如果我们如果试图找到式 9 中的 $χ$ ，会发现 $χ = - α \cdot p / q$ ，而这是一个微分算符，不是位置和时间的函数。

　　可以证明 K-H 系中，哈密顿量变为

\begin{matrix} (5) & H_{A} = \frac{p^{2}}{2 m} + V [r + α (t)], \end{matrix}

其中

V (r)

是不含时的势能函数（例如原子核对电子的库仑势能）。我们可以把加速度规范想象成在 K-H 非惯性系中使用速度规范，仍有

\begin{matrix} (6) & p = m v + q A = - i \nabla, \end{matrix}

但这里的

v

是相对于 K-H 系的。

　　注意这里不存在表示电场力的项，我们可以理解为 K-H 参考系中的惯性力与电场力抵消了。

　　对应的薛定谔方程仍然是

\begin{matrix} (7) & H_{A} Ψ_{A} = i \frac{\partial}{\partial t} Ψ_{A} . \end{matrix}

　　加速度规范的一个简单应用见 Volkov 波函数。

1. ^ 本文参考 [1]。

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed

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