加速度规范

             

预备知识 速度规范,平移算符

   本文使用原子单位制.首先注意加速度规范(acceleration gauge)并不是一种规范而只是薛定谔方程的一种变换,说它是规范只是习惯上的叫法.该变换也叫做 Kramers-Henneberger 变换K-H 变换

   在速度规范下,电场和矢势满足和库仑规范同样的关系(式 7

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mathcal{E}}} (t) = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \end{equation}
注意速度规范默认偶极子近似,即空间中电场和矢势都与位置无关.一个电荷为 $q$ 的粒子在电磁波到来之前处于静止,那么接下来它在电磁波作用下的位移为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t) = -\frac{q}{m}\int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} (t') \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
波函数变换是一个位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 的平移
\begin{equation} \Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi_A( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} , t) \end{equation}
也可以用平移算符记为
\begin{equation} \Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} } \Psi_A( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
这相当于一个参考系变换,我们把 $\Psi_A$ 所在的参考系叫做 K-H 参考系(K-H frame),是一个非惯性系.注意严格来说式 4 要求波函数在整个空间无穷阶可导,而式 3 却不用,但习惯上我们只是把平移算符看成平移的一种记号,并不要求波函数无穷阶可导.

   为什么说 K-H 变换不是一个规范变换?因为如果我们如果试图找到式 6 中的 $\chi$,会发现 $\chi = - \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} /q$,而这是一个微分算符,不是位置和时间的函数.

   可以证明 K-H 系中,哈密顿量变为

\begin{equation} H_A = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} + V[ \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t)] \end{equation}
其中 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是不含时的势能函数(例如原子核对电子的库仑势能).我们可以把加速度规范想象成在 K-H 非惯性系中使用速度规范,仍有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla \end{equation}
但这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是相对于 K-H 系的.

   注意这里不存在表示电场力的项,我们可以理解为 K-H 参考系中的惯性力与电场力抵消了.

   对应的薛定谔方程仍然是

\begin{equation} H_A \Psi_A = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_A \end{equation}

   加速度规范的一个简单应用见 Volkov 波函数

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利