连续映射和同胚

             

预备知识 映射,拓扑空间,函数的连续性

   给定两个拓扑空间 $(X, \mathcal{T}_X)$ 和 $(Y, \mathcal{T}_Y)$,定义一个映射 $f:X\rightarrow Y$.在集合论意义上,这个映射 $f$ 可以有任何可能的形式,但是在拓扑学意义上,我们只研究满足特定条件的一类映射,称为连续映射.那么什么是连续映射呢?

1. 连续映射

定义 1 连续映射1

   给定两拓扑空间 $(X, \mathcal{T}_X)$ 和 $(Y, \mathcal{T}_Y)$.映射 $f:X\rightarrow Y$ 在某一点 $x_o\in X$ 上连续,当且仅当对于任意 $Y$ 中的开集 $U\ni f(x_0)$,存在 $X$ 中的开集 $V\ni x_0$,使得 $f(V)\subseteq U$.

   如果 $f$ 在 $X$ 中的任意一点上都连续,那么称 $f$ 是一个连续映射(continuous mapping)

习题 1 连续映射的等价定义

   给定两拓扑空间 $X$,$Y$,那么 $f:X\rightarrow Y$ 是连续映射,当且仅当对于任意的 $U\in\mathcal{T}_Y$,有 $f^{-1}(U)\in\mathcal{T}_X$.即开集的逆映射还是开集.

   证明这一点.

   习题 1 中的等价定义,可以简单记为 “开集的逆映射还是开集”,类似地,容易证明它等价于 “闭集的逆映射还是闭集”.这个定义和微积分中实函数的连续性定理 1 本质上是一样的.在微积分和实变函数中,这个等价定义的用途似乎没那么多,但是在点集拓扑中要更为常用.接下来讨论的同胚概念就是一个例子.

2. 同胚

   在代数学中我们提到了同构和同态的概念.在任何理论框架中,同构的两个对象都被看成是同一个对象,这就要求同构的两个对象在指定理论框架中有完全一样的行为.拓扑学的框架和代数学不一样,因此同构的定义也不一样.由于历史原因,拓扑学意义上的同构,被称为同胚.

定义 2 同胚

   对于拓扑空间 $X$ 和 $Y$,如果存在一个双射 $f:X\rightarrow Y$,使得对于任意的开集 $A\in\mathcal{T}_X$ 和 $B\in\mathcal{T}_Y$,都有 $f(A)\in\mathcal{T}_Y$ 和 $f^{-1}(B)\in\mathcal{T}_X$,那么我们就说 $X$ 和 $Y$ 是同胚(homeomorphic)的;这个双射 $f$ 被称为一个同胚映射(homeomorphic mapping)或者简称为同胚(homeomorphism),记为 $X\approx Y$.

   这个定义其实就是直接要求存在一个双射,使得两个空间的开集一一对应.这个定义很直观,因为拓扑学就是定义开集的理论,开集之间一一对应的话,在拓扑意义下就有完全一样的行为了;但实践中一般不可能一个一个地比较两个空间的开集,看它们是不是都互相配对了,所以我们就引入了以下等价的定义:

定理 1 同胚的等价定义

   对于拓扑空间 $X$ 和 $Y$,如果存在一个双射 $f:X\rightarrow Y$,使得 $f$ 和 $f^{-1}$ 都是连续映射,那么我们有 $X\cong Y$.

   证明是很简单的,直接应用习题 1 的定义就可以.

例 1 

   考虑一维实数空间 $\mathbb{R}$,令所有开区间的集合为拓扑基,定义其上的拓扑.取一个开区间 $I=(0, 1)$,将 $I$ 视为 $\mathbb{R}$ 的子空间.那么这两个空间是同胚的.同胚映射取 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$,其中 $\forall x\in I, f(x)=\tan{(\pi\cdot(x-\frac{1}{2}))}$ 即可.

例 2 

   类似例 1 ,$\mathbb{R}^2\cong I\times I$.其中 $I\times I$ 是一个正方形区域,去除了边界.

例 3 反例

   通常的度量空间 $\mathbb{R}^2$ 和一个球表面 $S^2$ 不同胚.在 $\mathbb{R}^2$ 平面上挖去一个点得到的空间也和 $\mathbb{R}^2$ 不同胚.

   我们还可能经常接触到和同胚类似的一个概念,称为 “嵌入”.把拓扑空间 $X$ 嵌入到空间 $Y$,就是说让 $X$ 和 $Y$ 的一个子空间同构,由于同构的空间都被看成是同一个,这就相当于 $X$ 成为了 $Y$ 的一部分.

定义 3 嵌入

   设拓扑空间 $X$ 和 $Y$.若存在连续映射 $f:X\rightarrow Y$,使得 $X\cong f(X)$,那么称 $f$ 是一个嵌入(映射)(embedding),称 $X$ 由 $f$嵌入(embed)到 $Y$ 中.

   回忆一下映射的四种情况,很容易发现,只要是单连续映射都可以成为嵌入映射.

3. 同胚不变性

   数学中至关重要的一种研究思想,就是关注不变性(invariance).我们所研究的对象哪些地方是恒定不变的,标志了这个对象的本质.

   比如说,一个 $8\times8$ 的国际象棋棋盘,可以用 $1\times2$ 的长方形木条铺满;如果把棋盘的左上角和右下角的格子去掉,还能不能铺满呢?答案是否定的,因为如果你考虑棋盘黑白格子的分布,那么每个木条肯定要覆盖一个黑色格子和一个白色格子;去掉的两个格子肯定是同色的,这样一来两种颜色的格子数量就不一样了,肯定不会被铺满.在这个例子中,被覆盖的黑白格子数量无论如何都会是相同的,利用这个不变性就可以很轻松地解答问题.

   在物理学中也常常见到不变性的身影.牛顿力学中有伽利略不变性,在任何惯性系下加速度都是一样的;但是由另一个不变性:光速不变原理,却可以导出不同于牛顿力学的狭义相对论.

   在点集拓扑中,一个拓扑空间可以有各种各样的性质,比如单位区间 $I=(0,1)$ 具有长度 $1$,而 $\mathbb{R}$ 具有长度 $\infty$.但我们从例 1 中知道,这两个拓扑空间应该是同胚的,所以 “长度” 这一属性不是它们的本质属性.为了得到拓扑空间的本质属性,我们可以探索存在哪些同胚不变性,即对于任何同胚的空间来说都一样的性质.

   最重要的四个同胚不变性,分别是:紧致性连通性道路连通性以及分离性.对每一个性质,本书都单独开辟了一个词条,请点击性质名称后面的链接查看.


1. ^ 这个定义是类比实函数中逐点连续的 $\epsilon-\delta$ 表达.

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