贡献者： JierPeter; addis
给定两个拓扑空间 $(X, \mathcal{T}_X)$ 和 $(Y, \mathcal{T}_Y)$，定义一个映射 $f:X\rightarrow Y$。在集合论意义上，这个映射 $f$ 可以有任何可能的形式，但是在拓扑学意义上，我们只研究满足特定条件的一类映射，称为连续映射。那么什么是连续映射呢？
1. 连续映射
定义 1 连续映射1
给定两拓扑空间 $(X, \mathcal{T}_X)$ 和 $(Y, \mathcal{T}_Y)$。映射 $f:X\rightarrow Y$ 在某一点 $x_o\in X$ 上连续，当且仅当对于任意 $Y$ 中的开集 $U\ni f(x_0)$，存在 $X$ 中的开集 $V\ni x_0$，使得 $f(V)\subseteq U$。
如果 $f$ 在 $X$ 中的任意一点上都连续，那么称 $f$ 是一个连续映射（continuous mapping）。
习题 1 连续映射的等价定义
给定两拓扑空间 $X$，$Y$，那么 $f:X\rightarrow Y$ 是连续映射，当且仅当对于任意的 $U\in\mathcal{T}_Y$，有 $f^{-1}(U)\in\mathcal{T}_X$。即开集的原像还是开集。
证明这一点。
习题 1 中的等价定义，可以简单记为 “开集的原像还是开集”，类似地，容易证明它等价于 “闭集的原像还是闭集”。这个定义和微积分中实函数的连续性定理 1 本质上是一样的。在微积分和实变函数中，这个等价定义的用途似乎没那么多，但是在点集拓扑中要更为常用。接下来讨论的同胚概念就是一个例子。
2. 同胚
在代数学中我们提到了同构和同态的概念。在任何理论框架中，同构的两个对象都被看成是同一个对象，这就要求同构的两个对象在指定理论框架中有完全一样的行为。拓扑学的框架和代数学不一样，因此同构的定义也不一样。由于历史原因，拓扑学意义上的同构，被称为同胚。
定义 2 同胚
对于拓扑空间 $X$ 和 $Y$，如果存在一个双射 $f:X\rightarrow Y$，使得对于任意的开集 $A\in\mathcal{T}_X$ 和 $B\in\mathcal{T}_Y$，都有 $f(A)\in\mathcal{T}_Y$ 和 $f^{-1}(B)\in\mathcal{T}_X$，那么我们就说 $X$ 和 $Y$ 是同胚（homeomorphic）的；这个双射 $f$ 被称为一个同胚映射（homeomorphic mapping）或者简称为同胚（homeomorphism），记为 $X\approx Y$。
这个定义其实就是直接要求存在一个双射，使得两个空间的开集一一对应。这个定义很直观，因为拓扑学就是定义开集的理论，开集之间一一对应的话，在拓扑意义下就有完全一样的行为了；但实践中一般不可能一个一个地比较两个空间的开集，看它们是不是都互相配对了，所以我们就引入了以下等价的定义：
定理 1 同胚的等价定义
对于拓扑空间 $X$ 和 $Y$，如果存在一个双射 $f:X\rightarrow Y$，使得 $f$ 和 $f^{-1}$ 都是连续映射，那么我们有 $X\cong Y$。
证明是很简单的，直接应用习题 1 的定义就可以。这个定义也可以简单记为：“同胚映射就是双向连续双射”，即同胚映射要求是个双射，并且从两个方向来看都是连续映射。
下面这个例子就是一个单向连续双射，不成为同胚：
例 1
考虑单位圆 $S^1$，表示为复平面上的集合 $S^1=\{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x}\mid x\in[0, 1)\}$。考虑映射 $f:[0, 1)\to S^1$，定义为 $f(x)= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x}$，则这是一个双射，但只有 $f:S^1\to[0, 1)$ 连续，反过来的 $f^{-1}:[0, 1)\to S^1$ 不连续。
接下来是若干同胚的例子和反例。
例 2
考虑一维实数空间 $\mathbb{R}$，令所有开区间的集合为拓扑基，定义其上的拓扑。取一个开区间 $I=(0, 1)$，将 $I$ 视为 $\mathbb{R}$ 的子空间。那么这两个空间是同胚的。同胚映射取 $f:I\rightarrow\mathbb{R}$，其中 $\forall x\in I, f(x)=\tan{(\pi\cdot(x-\frac{1}{2}))}$ 即可。
例 3
类似例 2 ，$\mathbb{R}^2\cong I\times I$。其中 $I\times I$ 是一个正方形区域，去除了边界。
例 4 反例
通常的度量空间 $\mathbb{R}^2$ 和一个球表面 $S^2$ 不同胚。在 $\mathbb{R}^2$ 平面上挖去一个点得到的空间也和 $\mathbb{R}^2$ 不同胚。
我们还可能经常接触到和同胚类似的一个概念，称为 “嵌入”。把拓扑空间 $X$ 嵌入到空间 $Y$，就是说让 $X$ 和 $Y$ 的一个子空间同构，由于同构的空间都被看成是同一个，这就相当于 $X$ 成为了 $Y$ 的一部分。
定义 3 拓扑嵌入
设拓扑空间 $X$ 和 $Y$。若存在连续映射 $f:X\rightarrow Y$，使得 $X\cong f(X)$，那么称 $f$ 是一个拓扑嵌入（映射）（topological embedding），称 $X$ 由 $f$嵌入（embed）到 $Y$ 中。在明确讨论范围为点集拓扑时，也可简称嵌入（embedding）。
考虑到同胚就是 “双向连续双射”，如果单连续映射的逆映射还是连续的，那它就是嵌入映射。注意，我们这里讨论的范围是较抽象的 “点集拓扑”，在更具体的 “微分拓扑” 或 “微分几何” 中，（微分）嵌入的概念要求自然会更严格一些。
3. 同胚不变性
数学中至关重要的一种研究思想，就是关注不变性（invariance）。我们所研究的对象哪些地方是恒定不变的，标志了这个对象的本质。
比如说，一个 $8\times8$ 的国际象棋棋盘，可以用 $1\times2$ 的长方形木条铺满；如果把棋盘的左上角和右下角的格子去掉，还能不能铺满呢？答案是否定的，因为如果你考虑棋盘黑白格子的分布，那么每个木条肯定要覆盖一个黑色格子和一个白色格子；去掉的两个格子肯定是同色的，这样一来两种颜色的格子数量就不一样了，肯定不会被铺满。在这个例子中，被覆盖的黑白格子数量无论如何都会是相同的，利用这个不变性就可以很轻松地解答问题。
在物理学中也常常见到不变性的身影。牛顿力学中有伽利略不变性，在任何惯性系下加速度都是一样的；但是由另一个不变性：光速不变原理，却可以导出不同于牛顿力学的狭义相对论。
在点集拓扑中，一个拓扑空间可以有各种各样的性质，比如单位区间 $I=(0,1)$ 具有长度 $1$，而 $\mathbb{R}$ 具有长度 $\infty$。但我们从例 2 中知道，这两个拓扑空间应该是同胚的，所以 “长度” 这一属性不是它们的本质属性。为了得到拓扑空间的本质属性，我们可以探索存在哪些同胚不变性，即对于任何同胚的空间来说都一样的性质。
最重要的四个同胚不变性，分别是：紧致性，连通性，道路连通性以及分离性。对每一个性质，小时百科中都单独开辟了一篇文章，请点击性质名称后面的链接查看。
1. ^ 这个定义是类比实函数中逐点连续的 $\epsilon-\delta$ 表达。
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