连通性

             

预备知识 连续映射和同胚

1. 连通性的概念

   什么叫连通性?直观来说,在平面 $\mathbb{R}^2$ 上画两个不相交也不相切的圆,那么这两个圆所包含的区域就是不连通的.不连通的各部分显然是可以被 “孤立” 出来的,也就是说,如果两圆不相交也不相切,就一定能各自找到一个开集,让这两个圆分别被一个开集包含,而这两个开集还互不相交.这就是定义连通性的方法.

   我们把这两个圆包含的区域单独拿出来,构造一个子空间.在这个子空间中,两个圆各自有一个特点:它们既是开集也是闭集.如果将两个圆分别记为 $C_1$ 和 $C_2$,子空间记为 $A=C_1\cup C_2$,包含它们的开集分别是 $U_1\supseteq C_1$ 和 $U_2\supseteq C_2$,且 $U_1\cap U_2=\varnothing$,那么由子拓扑的定义,$C_1=C_1\cap U_1$ 是子空间的开集,同理 $C_2$ 也是子空间的开集;然而在子空间中还有 $C_1=A-C_2$,所以 $C_1$ 还应该是一个闭集,同理 $C_2$ 也是一个闭集.

图
图 1:$C_1$,$C_2$,$U_1$ 和 $U_2$ 的示意图

   如果你选择的是一个连通的空间,比如说一个圆所包含的区域构造的子空间,那么这种 “既开又闭” 的情况是不会存在的.因此,我们可以根据既开又闭的性质来定义连通性.

定义 1 孤立分支

   给定拓扑空间 $X$ 和它的一个非空真子集 $A$.如果 $A$ 在 $X$ 中既是开集也是闭集,那么称 $A$ 是 $X$ 的一个孤立分支

   注意,定义孤立分支的时候特别强调了 $A$ 是一个非空真子集,这样就把 $\varnothing$ 和 $X$ 本身排除在外了,因为按照定义,它们俩必须是既开又闭的.在上图中的 $C_1$ 和 $C_2$ 就是两个孤立分支.

   有了孤立分支的概念,就能直接引入连通性的概念了:

定义 2 连通性

   拓扑空间 $X$ 是连通(connected)的,当且仅当 $X$ 中没有孤立分支.

   连通性也可以用别的方式定义.

习题 1 连通性的等价定义

   给定拓扑空间 $X$,证明 “$X$ 是连通的” 和以下命题等价:

  • $X$ 不可以表示为两个非空不相交的开集的并;
  • $X$ 不可以表示为两个非空不相交的闭集的并;
  • 如果 $B$ 是只有两个元素的离散拓扑,那么不存在 $X$ 到 $B$ 的满射.

   对于任何拓扑空间,我们可以讨论这个空间本身是不是连通的,也可以研究各个子集构成的子空间是不是连通的.如果一个子集作为拓扑空间是连通的,我们就说这是一个连通子集(connected subset)

例 1 $\sin{\frac{1}{x}}$

   在 $(0,\infty)$ 上定义函数 $\sin{\frac{1}{x}}$,取函数图像上的所有点的集合作为 $\mathbb{R}^2$ 的子集:$S=\{(x, y)|x > 0, y=\sin{\frac{1}{x}}\}$.取 $S$ 的闭包 $\bar{S}$,那么 $S$ 和 $\bar{S}$ 都是连通的.

2. 连通性的性质

   引入连通性的概念,一个关键的好处是它刻画了拓扑空间的一个基本性质.正如我们在同胚中提过的,连通性是一个同胚不变性,也就是说,同胚的拓扑空间的连通性是完全一致的.这由以下定理保证:

定理 1 连通性的同胚不变性

   设有拓扑空间 $X$ 和 $Y$,令 $f:X\rightarrow Y$ 是一个连续映射,那么,对于 $X$ 的任何连通子集 $A$,$f(A)$ 也是 $Y$ 的连通子集.

   应用 “开集的逆映射还是开集” 可以很容易地证明这一定理.考虑到同胚映射在两个方向($X\rightarrow Y$ 和 $Y\rightarrow X$)上都是连续映射,那么同胚映射把两个拓扑空间的连通子集彼此对应起来了.

   在例 1 中我们知道 $S$ 和 $\bar{S}$ 都是连通的,这不是偶然的.

定理 2 闭包的连通性

   给定拓扑空间 $X$ 和它的一个连通子集 $A$.如果 $A\subseteq B\subseteq\bar{A}$,那么 $B$ 也是连通的.特别地,$\bar{A}$ 是连通的.

   由 “集合的内部、外部和边界” 中推论 1 可知,定理 2 中定义的 $B$ 就是 $A$ 添上若干边界点生成的;如果把边界点全都添上了,那就是 $\bar{A}$.

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